푸아송 괄호

푸아송 괄호(영어: Poisson bracket)란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다.

정의

일반화 좌표 $(q_{i},\;p_{i},\;t)$에서, 다음과 같은 두 함수 $F(q_{i},\;p_{i},\;t)$, $G(q_{i},\;p_{i},\;t)$에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

$\{F,\;G\}=\sum _{i}\left[{\partial F \over \partial q_{i}}{\partial G \over \partial p_{i}}-{\partial F \over \partial p_{i}}{\partial G \over \partial q_{i}}\right]$

몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.

$\{F,\;G\}=\sum _{i}\left[{\partial F \over \partial p_{i}}{\partial G \over \partial q_{i}}-{\partial F \over \partial q_{i}}{\partial G \over \partial p_{i}}\right]$

두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자.

성질

일반화 좌표 $(q_{i},\;p_{i},\;t)$에서, 다음과 같은 세 함수 $A(q_{i},\;p_{i},\;t)$, $B(q_{i},\;p_{i},\;t)$, $C(q_{i},\;p_{i},\;t)$에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다.

$\{A,\;B\}=-\{B,\;A\}$

또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다.

$\{A,\;\{B,\;C\}\}+\{B,\;\{C,\;A\}\}+\{C,\;\{A,\;B\}\}\ =\ 0$

일반화 좌표 $q_{i}$와 일반화 운동량 $p_{i}$사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며

$\{p_{i},\;q_{j}\}=\delta _{ij}$

$\{p_{i},\;p_{j}\}=\{q_{i},\;q_{j}\}=0$

함수 $A(q_{i},\;p_{i},\;t)$와 일반화 좌표 $q_{i}$와 운동량 $p_{i}$사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다.

$\{A,\;q_{i}\}=-{\partial A \over \partial p_{i}}$

$\{A,\;p_{i}\}={\partial A \over \partial q_{i}}$

해밀턴 방정식과 푸아송 괄호

푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 $(q_{i},\;p_{i},\;t)$에서의 해밀턴 방정식

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

${\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\dot {p}}_{i}=-\{H,\;p_{i}\}$

${\dot {q}}_{i}=-\{H,\;q_{i}\}$

원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 $q_{i}$와 일반화 운동량 $p_{i}$사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 $q_{i}$와 $p_{i}$사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

운동상수와 푸아송 괄호

만약 어떤 동역학적 물리량 $F(q_{i},\;p_{i},\;t)$가 운동상수, 즉 보존되는 물리량

${dF \over dt}=0$

이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며

${\partial F \over \partial t}=0$

해밀토니안 $H$와 물리량 $F$의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다.

$\{H,\;F\}=0$

이는, 맨 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다.

${\begin{aligned}0&={\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i})\\&=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right]\\&=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right]\\&=\{F,\;H\}\\&=-\{H,\;F\}\end{aligned}}$

물리량의 시간적 변화

어떤 동역학적 물리량 $F(q_{i},\;p_{i},\;t)$가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i}\;,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}\right]$

여기에 해밀턴 방정식 ${\dot {q}}_{i}={\partial H}/{\partial p_{i}}$ 와 ${\dot {p}}_{i}=-{\partial H}/{\partial q_{i}}$을 대입하면

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}F(q_{i},\;p_{i},\;t)&={\frac {\partial F}{\partial t}}+\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right]\\&={\frac {\partial F}{\partial t}}-\{H,\;F\}\end{aligned}}$

이 된다. 따라서 물리량 $F$의 시변(시간변화 부분)은

${\frac {d}{dt}}F=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\;\cdot \}\right)F$

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 $-\{H,\;\cdot \}$는 리우빌리안이라 불리기도 한다.

같이 보기

• 푸아송 대수
• 해밀턴 역학
• 교환자
• 라그랑주 괄호

참고 문헌

• 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽.