프라티니 논증

군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의

군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, $N$이 $G$의 유한 정규 부분군이며, $P$가 $N$의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.^{:128, §6.3, Lemma 6.14}

$G=N\operatorname {N} _{G}(P)$

여기서 $\operatorname {N} _{G}(P)$는 $G$ 속 $P$의 정규화 부분군이다.

증명

임의의 $g\in G$에 대하여, $gPg^{-1}$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 $N$에서 $P$와 켤레이다. 즉,

$ngPg^{-1}n^{-1}=P$

인 $n\in N$이 존재한다. 따라서 $ng\in \operatorname {N} _{G}(P)$이며,

$g\in n^{-1}\operatorname {N} _{G}(P)\subseteq N\operatorname {N} _{G}(P)$

이다.

응용

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, $P$가 $G$의 쉴로브 p-부분군이며, $\operatorname {N} _{G}(P)\leq H\leq G$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:129, §6.3, Corollary 6.15}

$\operatorname {N} _{G}(H)=H$

특히,

$\operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(P))=\operatorname {N} _{G}(P)$

이다.

증명:

$H$가 $\operatorname {N} _{G}(H)$의 정규 부분군이며,

$P\leq \operatorname {N} _{G}(P)\leq H$

는 $H$의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

$\operatorname {N} _{G}(H)=H\operatorname {N} _{\operatorname {N} _{G}(H)}(P)\leq H\operatorname {N} _{G}(P)=H\leq \operatorname {N} _{G}(H)$

이다.

역사

1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

외부 링크

• “Frattini's argument”. 《ProofWiki》 (영어).