프레셰 도함수

함수해석학에서 프레셰 도함수(영어: Fréchet derivative)는 두 바나흐 공간 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있는 도함수이다. 가토 도함수보다 더 강한 개념이다. 즉, 어떤 바나흐 공간 위의 함수가 프레셰 미분가능이라면 그 함수는 가토 미분가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다.

정의

두 바나흐 공간 $V,W$ 사이의 함수 $f\colon V\to W$ 및 $v\in V$에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 유계 작용소 $D_{v}f\colon V\to W$가 존재한다면, $f$를 $v$에서 프레셰 미분 가능하다고 하고, $D_{v}f$를 $f$의 $v$에서의 프레셰 도함수라고 한다.

$\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}=0$

즉, 함수

$g\colon V\setminus \{0\}\to \mathbb {R}$

$g\colon \epsilon \mapsto {\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}$

가 $\epsilon =0$에서 극한 0을 가져야 한다.

성질

만약 함수 $f\colon V\to W$가 $v\in V$에서 프레셰 미분 가능하다면, $f$는 $v$에서 가토 미분 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 만약 $f\colon V\to W$의 $v\in V$에서의 프레셰 도함수가 $D_{v}f$라면, $v$에서의, $u\in V$ 방향의 가토 도함수는 $D_{v}f(u)$이다.

외부 링크

• “Fréchet derivative”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fréchet derivative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 가토 도함수