합동 관계

보편 대수학에서 합동 관계(合同關係, 영어: congruence relation)는 대수 구조의 몫 대수를 정의하는 동치 관계이다.

정의

대수 구조 $(S,F)$는 집합 $S$와, $S$ 위의

$S\times S\times \cdots \times S\to S$

꼴의 함수들의 집합 $F$의 순서쌍이다. 대수 구조 $(S,F)$ 위의 합동 관계(영어: congruence relation) $\sim$는 다음 조건을 만족시키는, $S$ 위의 동치 관계이다.

• 모든 $f\in F$, $f\colon S^{\times n}\to S$ 및 ${\vec {a}},{\vec {b}}\in S^{\times n}$에 대하여, 만약 모든 $i=1,\dots ,n$에 대하여 $a_{i}\sim b_{i}$라면 $f({\vec {a}})\sim f({\vec {b}})$이다.

대수 구조 $(S,F)$ 위의 합동 관계들의, 함의에 따른 부분 순서 집합은 $\operatorname {Cong} (S)$로 표기한다. 이는 $S$의 동치 관계 격자 $\operatorname {Equiv} (S)$의 부분 격자를 이루며, 또한 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.^{:37, Theorem 5.5}

합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.

예

군 $(G,\cdot ,{}^{-1},1)$는 이항 연산 $\cdot$, 일항 연산 $^{-1}$, 영항 연산 $1$이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군 $G$의 합동 관계는 $G$의 정규 부분군과 일대일 대응한다. 합동 관계 $\sim$에 대응하는 정규 부분군은

$N=\{g\in G|g\sim 1\}$

이며, 반대로 정규 부분군 $N\triangleleft G$에 대응하는 합동 관계는

$g\sim h\iff gh^{-1}\in N\iff h^{-1}g\in N\iff g^{-1}h\in N\iff hg^{-1}\in N$

이다.

유사환 $(R,+,\cdot ,-,0)$은 이항 연산 $+$와 $\cdot$, 일항 연산 $-$, 영항 연산 $0$이 정의된 대수 구조이다. 이 경우, $R$의 합동 관계는 $R$의 아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계 $\sim$에 대응하는 아이디얼은

${\mathfrak {a}}=\{r\in R|r\sim 0\}$

이며, 반대로 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$에 대응하는 합동 관계는

$r\sim s\iff r-s\in {\mathfrak {a}}\iff s-r\in {\mathfrak {a}}$

이다.

정수환 $\mathbb {Z}$에서, 주 아이디얼 $(n)$에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동 $a\equiv b{\pmod {n}}$이다.

군과 유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드 $(M,\cdot ,1)$의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.

외부 링크

• “Congruence (in algebra)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.