대수기하학 에서, 형식적 군 법칙 (形式的群法則, 영어 : formal group law )은 리 군 의 국소적 곱셈 법칙을 형식적 멱급수 로 공리화하여 얻은 대수적 구조이다. 구체적으로, 이는 일종의 결합 법칙 을 만족시키는 형식적 멱급수이다. 표수 0의 체의 경우 이 개념은 사실상 리 대수 와 동치이나, 다른 표수의 경우 이는 추가 정보를 포함한다.
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
형식적 변수
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
{\displaystyle {\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n},{\mathsf {y}}_{1},{\mathsf {y}}_{2},\dotsc ,y_{n}}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\mathsf {x}}=({\mathsf {x}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n})}
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle {\mathsf {y}}=({\mathsf {y}}_{1},\dotsc ,{\mathsf {y}}_{n})}
와 같이 표기하자.
이에 대한 형식적 멱급수환
K
[
[
x
,
y
]
]
{\displaystyle K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}
을 생각하자. 이에 대한 형식적 군 법칙 은
n
{\displaystyle n}
F
=
(
F
1
,
F
2
,
…
,
F
n
)
{\displaystyle F=(F_{1},F_{2},\dotsc ,F_{n})}
F
1
,
…
,
F
n
∈
K
[
[
x
,
y
]
]
{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\in K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}
로 구성되며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.
F
(
x
,
y
)
=
x
+
y
+
O
(
x
2
,
y
2
,
x
y
)
{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}+O({\mathsf {x}}^{2},{\mathsf {y}}^{2},{\mathsf {xy}})}
F
(
x
,
F
(
y
,
z
)
)
=
F
(
F
(
x
,
y
)
,
z
)
{\displaystyle F({\mathsf {x}},F({\mathsf {y}},{\mathsf {z}}))=F(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}),{\mathsf {z}})}
결합 법칙 )형식적 군 법칙
F
{\displaystyle F}
가환 형식적 군 법칙 (영어 : commutative formal group law )이라고 한다.
F
(
x
,
y
)
=
F
(
y
,
x
)
{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})=F({\mathsf {y}},{\mathsf {x}})}
같은 가환환
K
{\displaystyle K}
m
{\displaystyle m}
F
{\displaystyle F}
n
{\displaystyle n}
G
{\displaystyle G}
형식적 군 법칙 준동형 (영어 : formal group law homomorphism )
f
:
F
→
G
{\displaystyle f\colon F\to G}
f
1
,
f
2
,
…
,
f
n
∈
K
[
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
]
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{n}\in K[[{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n}]]}
이다.
G
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
=
f
(
F
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle G(f({\mathsf {x}}),f({\mathsf {y}}))=f(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))}
역원을 가지는 형식적 군 법칙 준동형을 형식적 군 법칙의 동형이라고 한다. (이는
m
=
n
{\displaystyle m=n}
f
(
x
)
=
x
+
O
(
x
2
)
{\displaystyle f({\mathsf {x}})={\mathsf {x}}+O({\mathsf {x}}^{2})}
이라면, 이를 순동형 (純同形, 영어 : strict isomorphism )이라고 한다.
형식적 군 법칙의 정의에는 역원의 존재에 대한 특별한 조건에 없지만, 이는 항상 자동적으로 성립한다. 즉, 임의의 형식적 군 법칙
F
{\displaystyle F}
F
(
x
,
G
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle F({\mathsf {x}},G({\mathsf {x}}))=0}
인
G
∈
K
[
[
x
]
]
{\displaystyle G\in K[[{\mathsf {x}}]]}
만약 가환환
K
{\displaystyle K}
유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
F
{\displaystyle F}
log
{\displaystyle \log }
log
(
F
(
x
,
y
)
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle \log(F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}}))=f({\mathsf {x}})+f({\mathsf {y}})}
가 된다.
리 대수와의 관계
편집
임의의
n
{\displaystyle n}
F
i
(
x
,
y
)
=
x
i
+
y
i
+
∑
j
,
k
f
i
j
k
x
j
y
k
+
∑
j
,
k
f
i
′
j
k
x
j
x
k
+
∑
j
,
k
f
i
″
j
k
y
j
y
k
⋯
{\displaystyle F_{i}({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}_{i}+{\mathsf {y}}_{i}+\sum _{j,k}f_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}+\sum _{j,k}f'_{i}{}^{jk}{\mathsf {x}}^{j}{\mathsf {x}}^{k}+\sum _{j,k}f''_{i}{}^{jk}{\mathsf {y}}^{j}{\mathsf {y}}^{k}\dotsb }
에서,
f
i
j
k
{\displaystyle f_{i}{}^{jk}}
n
{\displaystyle n}
리 대수 를 정의한다.
[
x
,
y
]
+
O
(
x
3
,
y
3
,
x
y
2
,
y
x
2
)
=
F
(
x
,
y
)
−
F
(
y
,
x
)
{\displaystyle [x,y]+O(x^{3},y^{3},xy^{2},yx^{2})=F(x,y)-F(y,x)}
표수 0의 체의 경우, 형식적 군 법칙의 범주는 리 대수의 범주와 동치 이다. 그러나 이는 양의 표수의 경우 성립하지 않는다.
덧셈 형식적 군 법칙 은 임의의 차원 및 계수에서 정의되는 다음과 같다.
F
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}}
임의의
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
곱셈 군 법칙 은 다음과 같은 1차원 군 법칙이다.
F
(
x
,
y
)
=
x
+
y
+
u
x
y
{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}+u{\mathsf {x}}{\mathsf {y}}}
리 군의 형식적 군 법칙
편집
n
{\displaystyle n}
리 군
G
{\displaystyle G}
리 대수
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}
기저 를 잡고, 리 지수 함수
exp
:
l
i
e
(
G
)
→
G
{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {lie}}(G)\to G}
로서
G
{\displaystyle G}
1
∈
G
{\displaystyle 1\in G}
근방 의 국소 좌표계 를 정의할 수 있다.
G
{\displaystyle G}
매끄러운 함수 이므로 이에 대한 테일러 급수 를 취할 수 있으며, 이는
n
{\displaystyle n}
특수 상대성 이론
편집
특수 상대성 이론 의 속도 덧셈 공식
F
(
x
,
y
)
=
x
+
y
1
+
x
⋅
y
{\displaystyle F({\mathsf {x}},{\mathsf {y}})={\frac {{\mathsf {x}}+{\mathsf {y}}}{1+{\mathsf {x}}\cdot {\mathsf {y}}}}}
은 형식적 군 법칙을 이룬다.
잘로몬 보흐너(독일어 : Salomon Bochner )가 1946년에 도입하였다.[1]
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa037e97a66838c25a02d99760a2dd329ecae6e9)
![{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\in K[[{\mathsf {x}},{\mathsf {y}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d342d55aaea5d466080fa3a39adc5b5e6dbc491b)
![{\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{n}\in K[[{\mathsf {x}}_{1},{\mathsf {x}}_{2},\dotsc ,{\mathsf {x}}_{n}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8f453204eac96f322a8cfc482e5a86af44606c)
![{\displaystyle G\in K[[{\mathsf {x}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bffb4bc37ce46c1a9f862dcb354cc9e4c7f43b9)
![{\displaystyle [x,y]+O(x^{3},y^{3},xy^{2},yx^{2})=F(x,y)-F(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523751f12fa296dd416f501d10040aa31cb3d8dd)
