2차원 𝒩=1 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 장론(二次元${\mathcal {N}}=1$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\mathcal {N}}=1$ superconformal theory)은 하나의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=1 초등각 대수

2차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

• $G_{r}$. 이는 $h=3/2$ 비라소로 대수 1차장인 초전류(영어: supercurrent) $Q(z)$의 모드 전개이다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건의 경우 $r\in \mathbb {Z} +1/2$이며, 라몽(R) 경계 조건의 경우 $r\in \mathbb {Z}$이다.
• $L_{n}$. 이는 $h=2$ 비라소로 대수 준1차장인 에너지-운동량 텐서 $T(z)$의 모드 전개이며, $n\in \mathbb {Z}$이다.
• $c$는 중심 원소이며, 중심 전하(영어: central charge)라고 한다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.

c는 모든 원소와 가환

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}$

$[L_{m},G_{r}]=(m/2-r)G_{r+m}$

$\{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}(r^{2}-1/4)\delta _{r+s,0}$

이 대수는 다음과 같은 $\mathbb {Z} /2$ R대칭을 갖는다.

$L_{m}\mapsto L_{m}$

$G_{r}\mapsto -G_{r}$

$c\mapsto c$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_{0}$, $L_{\pm 1}$, $G_{\pm 1/2}$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다.

R 대수에서, $L_{0}$, $G_{0}$, $c$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

$[L_{0},G_{0}]=[L_{0},L_{0}]=0$

$\{G_{0},G_{0}\}=2(L_{0}-c/24)$

표현

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다.^{:174–175:254–255} 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다.

$L_{n}|\phi \rangle =G_{r}=0\qquad \forall n,r>0$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}G_{-r_{2}}\cdots G_{-r_{p}}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p}$

여기서 $r_{i}<r_{i+1}$인 것은

$G_{r}^{2}=L_{2r}-{\frac {c}{24}}\delta _{r,0}$

이기 때문이다.

라몽 경계 조건에서 $G_{0}$의 경우,

$G_{0}^{2}=L_{0}-c/24$

이므로, 무게가 $h$인 비라소로 1차장을

$G_{0}|h\rangle =\pm {\sqrt {h-c/24}}|h\rangle$

가 되게 대각화할 수 있다.

유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.^:254–255

• $c\geq 3/2$인 경우: $h\geq 0$ (NS), $h\geq c/24$ (R)
• $0<c<3/2$인 경우:

$c_{k}={\frac {3}{2}}-{\frac {12}{m(m+2)}}$

$h_{r,s}={\frac {(r(m+2)-sm)^{2}-4}{8m(m+2)}}+{\begin{cases}0&{\text{NS}}\\1/16&{\text{R}}\end{cases}}\qquad (1\leq r\leq m-1,\;1\leq s\leq m+1)$

후자의 경우는 최소 모형에 등장한다.

예

$c<3/2$인 유니터리 ${\mathcal {N}}=1$ 초등각 장론들은 완전히 분류되었고, 이들을 최소 모형이라고 한다.

자유 마요라나-바일 페르미온 $\psi$($(h,{\bar {h}})=(1/2,0),(0,1/2)$)과 자유 실수 보손 $\partial \phi$ ($(h,\hbar )=(1,0),(0,1)$)으로 구성된 자유 장론은 $c=3/2$인 ${\mathcal {N}}=(1,1)$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다.

기호	무게 $h$	설명
$1$	0	진공
$Q=\psi \partial \phi$	3/2	초전류 (1에 $G_{-3/2}$를 가하여 얻음)
$\psi$	½	페르미온
$\partial \phi$	1	보손 ($\psi$에 $G_{-1/2}$를 가하여 얻음)

즉, 두 개의 초1차장 $1$, $\psi$를 갖는다.

응용

초끈 이론에서, 초끈의 세계면 이론은 ${\mathcal {N}}=(1,1)$ 초등각 장론 (2종 초끈) 또는 ${\mathcal {N}}=(1,0)$ 초등각 장론 (잡종 끈)을 이룬다.

같이 보기

• 2차원 𝒩=2 초등각 장론
• 2차원 𝒩=4 초등각 장론
• 끈 이론
• 2차원 등각 장론
• 초대칭
• 최소 모형 (등각 장론)