리 군론 에서 8차원 회전군 (八次元回轉群, 영어 : eight-dimensional rotation group )은 8차원 유클리드 공간 의, 원점을 보존하는 등거리 변환 의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성 영어 : triality )이라는 특별한 대칭을 갖는다.
8차원 회전군 은 8차원 실수 계수 직교군
O
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (8;\mathbb {R} )}
딘킨 도표 는
∙
−
∙
⟨
∙
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}
이다. 이 그래프 는 중심 밖의 꼭짓점의 순열 에 대하여 3차 대칭군
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}
삼중성 (영어 : triality )이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.
그 복소수 리 대수
o
(
8
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(8;\mathbb {C} )}
리 군 들은 다음이 있다.
킬링 형식 의 부호수기호
직교군 기호
사타케 도표 보건 도표 비고
(0,28)
Spin(8)
∙
−
∙
⟨
∙
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}
∘
−
∘
⟨
∘
∘
{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}
콤팩트 형태
(7,21)
D₄Ⅱ
Spin(1,7)
∘
−
∙
⟨
∙
∙
{\displaystyle \circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}
∘
−
∘
⟨
∘
∘
}
{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}}
(12,16)
D₄Ⅱ, D₄Ⅲ
SO*(8)=SO(2,6)
∘
−
∘
⟨
∙
∙
{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }}
∙
−
∘
⟨
∘
∘
{\displaystyle \bullet -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}
(15,13)
D₄Ⅱ
Spin(3,5)
∘
−
∘
⟨
∘
∘
}
{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}}
∙
−
∘
⟨
∘
∘
}
{\displaystyle \bullet -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}}
(16,12)
D₄Ⅰ
Spin(4,4)
∘
−
∘
⟨
∘
∘
{\displaystyle \circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}
∘
−
∙
⟨
∘
∘
{\displaystyle \circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }}
분할 형태
콤팩트 형태
편집
Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너 이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.
Spin(8)의 군의 중심 은 클라인 4원군
Z
(
Spin
(
8
)
)
≅
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\cong \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}
이며, 이는 유한체
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
벡터 공간
F
2
⊕
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}}
자기 동형군 은
Aut
(
Z
(
Spin
(
8
)
)
)
≅
GL
(
2
;
F
2
)
≅
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} \left(\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\right)\cong \operatorname {GL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)}
이다. 구체적으로,
F
2
⊕
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}}
자기 동형군 은 이 위의 순열 로서 작용한다.
특수 직교군
SO
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
스피너 가 특수 직교군의 표현 을 이루지 못함에 대응한다.
물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군
PSO
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSO} (8;\mathbb {R} )}
분할 형태
편집
SO
+
(
4
,
4
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,4)}
군의 중심 은
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
SO
(
4
)
×
SO
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (4)\times \operatorname {SO} (4)}
기본군 은
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}
SO
+
(
4
,
4
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,4)}
범피복군 의 군의 중심 은
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
≅
F
2
⊕
3
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\cong \mathbb {F} _{2}^{\oplus 3}}
이다. 그 자기 동형군 은 크기 168의 유한 단순군
GL
(
3
;
F
2
)
≅
PSL
(
2
;
F
7
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})}
이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.
Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.
SO(3,5)
편집
Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.
SO
(
3
,
5
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (3,5)}
범피복군 의 군의 중심 은 마찬가지로
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)}
SO(2,6) = SO*(8)
편집
실수 리 대수
o
(
2
,
6
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,6)}
o
∗
(
8
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(8)}
리 군 의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간 의 등각군 으로 해석될 수 있다.
동형 사상
o
(
2
,
6
)
≅
o
∗
(
8
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,6)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(8)}
은 6차원 회전군 의 동형 사상
s
u
(
1
,
3
)
≅
o
∗
(
6
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)}
을 확장시킨다.
로런츠 형태 SO(1,7)
편집
실수 리 대수
o
(
1
,
7
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,7)}
유클리드 공간 의 등각군 으로 해석될 수 있다.
참고 문헌
편집
Adams, John Frank (1981). 〈Spin(8), Triality, F4 and all that〉. Hawking, Stephen ; Roček, Martin. 《Superspace and supergravity》 (영어). Cambridge University Press. 435–445쪽. 외부 링크
편집
