T-이중성

끈 이론에서 T-이중성(T-二重性, 영어: T-duality) 또는 과녁 공간 이중성(영어: target space duality)은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론이 서로 같은 현상이다.^{:187–248:232–281} 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 차원은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

T-이중성과 S-이중성은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, ⅡA형과 ⅡB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E₈×E₈ 잡종 끈 이론과 SO(32) 잡종 끈 이론이 서로 동형이다.

정의

원기둥에 축소화한 닫힌 보손 끈을 생각하자. 축소 차원의 크기가 $2\pi R$이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 운동량은 $1/R$의 단위로 양자화된다.

$p=n/R$, $n\in \mathbb {Z}$

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소 차원에 따라 감긴 수를 감음수(winding number) $w$라고 부른다.

닫힌 끈의 감음수. 시계 방향으로 감기면 음수, 시계 반대 방향으로 감기면 양수로 친다.

그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.

$m^{2}={\frac {n^{2}}{R^{2}}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+{\tilde {N}}-2\right)$

여기서 $N+{\tilde {N}}$은 끈의 총 진동 모드의 수다. ($\alpha '=1$로 놓자.) 따라서

$R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w$

와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호 작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.

열린 끈과 D-막의 T-이중성

열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건이 디리클레 경계 조건에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막을 포함하여야 한다. 이에 따라, D$p$-막은 (축소화하는 방향에 따라서) D$p$-막 또는 D$(p-1)$-막에 대응된다.

등각 장론의 관점

T-이중성은 2차원 등각 장론의 관점에서 이미 등장한다. 가장 간단하게, 스칼라장

$X\colon \Sigma \to \mathbb {R} /(2\pi R\mathbb {Z} )$

을 생각하자. 그렇다면, 그 분배 함수는 다음과 같은 꼴이다.^{:124, (4.19)}

$Z_{R}(\tau ,{\bar {\tau }})={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{2}}(m/R+Rn/2)^{2}}{\bar {q}}^{-{\frac {1}{2}}(m/R-Rn/2)^{2}}$

여기서

$q=\exp(2\pi \mathrm {i} \tau )$

${\bar {q}}=\exp(2\pi \mathrm {i} {\bar {\tau }})$

이며, $\eta$는 데데킨트 에타 함수이다. 그렇다면, 푸아송 재합 공식(영어: Poisson resummation formula)을 통하여

$Z(\tau ;R)=Z(\tau +1;R)=Z(-1/\tau ;R)=Z(\tau ;2/R)$

임을 보일 수 있다.^{:125, §4.2} 물리학적으로, 처음 두 등식은 모듈러 군의 작용이며, 마지막 등식은 끈의 T-이중성을 나타낸다.

여러 차원의 축소화

여러 개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.^{:265–286:246–255} $k$개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 $\operatorname {O} (k,k,\mathbb {Z} )$이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는 $2k\times 2k$ 정사각행렬 $M$들의 군이다.

• $M$은 유니모듈라 행렬(영어: unimodular matrix)이다. 즉, $M$의 모든 성분은 정수이며, $M^{-1}$이 존재하고, $M^{-1}$의 모든 성분도 정수이다.
• $M$은 계량 부호수가 $(k,k)$인 계량 텐서에 대한 직교행렬이다. 즉, $\Omega ={\begin{pmatrix}0_{n}&I_{n}\\I_{n}&0_{n}\end{pmatrix}}$ ($I_{n}$은 $n\times n$ 단위행렬, $0_{n}$은 $n\times n$ 영행렬)이면, $M^{\top }\Omega M=\Omega$이다.

초끈 이론에서의 T-이중성

초끈 이론에서는 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다. 즉, 축소화의 관계는 다음과 같다.

${\begin{matrix}D=11&\mathrm {M} \\&\downarrow \\D=10&\mathrm {IIA} &&\mathrm {IIB} &\mathrm {H} \operatorname {E} _{8}\times \operatorname {E} _{8}&&\mathrm {H} \operatorname {SO} (32)\\&\downarrow &\swarrow &&\downarrow &\swarrow \\D=9&{\mathcal {N}}=2&&&{\mathcal {N}}=1\end{matrix}}$

Ⅰ종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭이 깨지게 된다. 이 이론을 Ⅰ′종 이론(Type Ⅰ′) 또는 ⅠA종 이론(Type IA)이라고 한다.^:224–226 이 이론은 ⅡA종 끈 이론에 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. ⅡA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기(chirality)를 가지므로, 사영을 하려면 향의 반전 $\Omega$와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8⁻-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막을 가진다.

T-이중성 아래, NS-NS 배경장 $(g,B,\Phi )$은 다음과 같은 부셔 규칙(영어: Buscher rule)을 통해 변환한다.^:(1.0.2)

$g_{11}'={\frac {1}{g_{11}}}$

$g_{1i}'={\frac {B_{1i}}{g_{11}}}$

$g_{ij}'=g_{ij}-{\frac {g_{1i}g_{1j}-B_{1i}B_{1j}}{g_{11}}}$

$B_{1i}'={\frac {g_{1i}}{g_{11}}}$

$B_{ij}'=B_{ij}-{\frac {g_{1i}B_{1j}-g_{1j}B_{1i}}{g_{11}}}$

$\Phi '=\Phi -{\frac {1}{2}}\ln g_{11}$

여기서

• 1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며, $i,j$는 다른 방향의 좌표의 지표이다.
• $g$는 중력장이다.
• $B$는 캘브-라몽 장이다.
• $\Phi$는 딜라톤이다.

위상 T-이중성

 이 부분의 본문은 위상 T-이중성입니다.

보다 일반적으로, T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 올다발에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 위상 동형이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.

초중력의 T-이중성

초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력이다. ⅡA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡA 초중력이고, ⅡB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 ⅡA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초중력과 ⅡB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 ${\mathcal {N}}=2$ 초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 ⅡA와 ⅡB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 ⅡA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.

ⅡA 10차원 장	축소화 뒤 9차원 장들
중력장	중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
딜라톤	스칼라장
라몽-라몽 1차 형식	벡터장, 스칼라장
라몽-라몽 3차 형식	3차 형식, 2차 형식
합계	중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

ⅡB 10차원 장	축소화 뒤 9차원 장들
중력장	중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
딜라톤	스칼라장
라몽-라몽 0차 형식	스칼라장
라몽-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
라몽-라몽 4차 형식	3차 형식
합계	중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대(영어: self-dual)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

역사

오사카 대학의 깃카와 게이지(일본어: 吉川 圭二 (きっかわ けいじ))와 야마사키 마사미(일본어: 山崎 眞見 (やまさき まさみ))가 1984년에, 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케(일본어: 坂井 典佑 (さかい のりすけ))와 센다 이쿠오(일본어: 仙田 郁夫 (せんだ いくお))가 1986년에 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 헨리 부셔(영어: Thomas Henry Buscher)와 마르틴 로체크(체코어: Martin Roček), 에리크 페터르 페를린더(네덜란드어: Erik Peter Verlinde) 가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성과 페르미온 T-이중성이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

외부 링크

• Tong, David (2007년 2월 19일). “Quantum geometry: What the string saw” (PDF).  (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
• Gabella, Maxime (2008). “Topics in T-duality” (PDF). 2016년 3월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 6일에 확인함. 
• Yin, Xi. “Notes on D-branes and dualities” (PDF). 2008년 8월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 6일에 확인함. 
• “T-duality”. 《nLab》 (영어).