다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.
양방향 Z 변환
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연속시간 신호 의 양방향 Z 변환은 로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.
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여기서 은 정수이고 는 일반적으로 복소수이다. 즉, 는 복소수의 크기 와 허수 단위 , 그리고 편각 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.
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단방향 Z 변환
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만약 이 에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.
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이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.
다음과 같은 신호를 생각해 보자.
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그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.
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다음과 같은 신호를 생각해 보자.
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그러면 의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.
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선형성 (Linearity)
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두 이산 시간 신호 , 의 Z 변환을 각각 , 라 두면, 상수 , 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다
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시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)
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양방향 Z 변환의 경우
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이산 시간 신호 의 Z 변환을 라 두면 정수 에 대해 의 Z 변환은 다음과 같다.
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단방향 Z 변환의 경우
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단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 인 경우
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인 경우
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Z 역변환
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수렴 반경
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차분방정식의 풀이
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다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.
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양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.
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따라서, 이다.
Z 변환 표
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같이 보기
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- Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; ISBN 0130172936, 9780130172938.
- Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
- Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.