극값: 두 판 사이의 차이
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==일계도함수판정법==
[[공역]]에 [[부분순서]]가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 [[공역]]이 [[실수]]집합 <math>\mathbb{R}</math>인 함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>를 생각하자.(여기서 <math>U</math>는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 [[미분가능]]하고 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극값을 가진다면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}</math>이다. 즉, <math>\mathbf{x}_0</math>는 함수 <math>f</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]]이다. 이렇게 [[임계점 (수학)|임계점]]을 통해 극값을 찾는 방법을 '''일계도함수판정법'''이라고 한다.
===증명===
'''n=1일 때'''
:극대값의 정의에 의하여 <math>x\in I\Rightarrow f\left( x\right)\le f\left( x_0\right)</math>를 만족하는 <math>x_0</math>를 포함하는 어떤 [[구간|개구간]] <math>I</math>가 존재한다. [[구간|개구간]]은 [[열린 집합]]이므로 <math>\left( x_0-\delta_1,x_0+\delta_1\right)\in I</math>를 만족하는 어떤 양의 실수 <math>\delta_1</math>이 존재한다. <math>f'\left( x_0\right)</math>가 존재하므로 이를 <math>K</math>라하자. 그렇다면 <math>\lim_{h\to 0}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K</math>이다. <math>0<h<\delta_1</math>일 때 <math>\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}>0</math>이므로 <math>\lim_{h\to 0^+}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K\ge 0</math>이다.([[함수의 극한|극한]]의 성질 중 함수와 극한의 대소 문단 참고) 마찬가지로 <math>-\delta_1<h<0</math>일 때 <math>\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}<0</math>이므로 <math>\lim_{h\to 0^-}\frac{f\left( x_0+h\right) -f\left( x_0\right)}{h}=K\le 0</math>이다. <math>K\ge 0</math>인 동시에<math>K\le 0</math>이므로 <math>K=0</math>이다. 극솟값의 경우도 마찬가지이다. 즉, 함수 <math>f</math>가 미분가능하고 <math>x_0</math>에서 극값을 가진다면 <math>f'\left( x_0\right) =0</math>이다.
'''모든 n에 대해'''
:임의의 벡터 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 함수 <math>g:U'\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>을 <math>g\left( t\right) =f\left(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h}\right)</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>g</math>는 <math>t=0</math>에서 극값을 가져야 한다. 위에서 증명했듯이 <math>g'(0)=0</math>이므로 [[연쇄법칙]]에 의하여 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}=0</math>이다. 임의의 <math>\mathbf{h}</math>에 대해 <math>0</math>이므로 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이다.
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:최적화]]
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