벡터장: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
유클리드 공간 <math>\mathbb{R}^n</math>에서 '''벡터장'''은 <math>\mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n</math>으로 정의되는 [[사상]]으로써 [[정의역]] <math>A</math>의 모든 원소 <math>\mathbf{x}</math>에 [[벡터]] <math>\mathbf{F}\left(\mathbf{x}\right)</math>를 대응시킨다. 만약 <math>n=3</math>이라면 벡터장 <math>\mathbf{F}\left( x,y,z\right) =\left( F_1\left( x,y,z\right) ,F_2\left( x,y,z\right) ,F_3\left( x,y,z\right)\right)</math>으로 나타낼 수 있으며 이 때 <math>F_1,~F_2,~F_3</math>는 성분 [[스칼라장]]이라고 한다. <math>n\ne 3</math>일 때도 비슷한 방식으로 <math>n</math>개의 성분 [[스칼라장]]을 가지게 된다. 만약 모든 성분 [[스칼라장]]이 <math>C^k</math> 함수라면 벡터장 <math>\mathbf{F}</math>는 <math>C^k</math>계급에 속한다.
==기울기벡터장==
{{참고|기울기 (벡터)}}
어떤 함수 <math>f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>가 있을 때 그 함수의 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]는 다음과 같이 정의 된다.
:<math>\nabla f\left( x,y,z\right) =\frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right)\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right)\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right)\mathbf{k}</math>
자세히 살펴보면 <math>\nabla f</math>는 <math>A</math>의 모든 원소 <math>\mathbf{x}</math>에 어떤 [[벡터]]를 대응시키는 벡터장이다. 이를 특별히 '''기울기벡터장'''이라고 한다.
== 예 ==
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* [[자기장]]. 대략적인 자기장의 모습은 자석 주위에 철가루를 뿌려 확인할 수 있다.
* [[맥스웰 방정식]]을 사용하면, 초기조건이 주어졌을 때 유클리드 공간의 모든 점에서 단위 [[전하]]가 느끼는 힘의 크기와 방향을 구할 수 있으며, 이 힘의 벡터로 정의된 것이 [[전기장]]이다.
* 질량이 있는 물체가 만드는 [[중력장]]도 벡터장이다. 구대칭을 갖고 있는 물체가 만드는 중력장은 구의 중심을 향하며, 크기가 중심에서부터의 거리의 제곱에 반비례하는 벡터장을 이룬다. 이 때 이 벡터장은 [[중력]]에 의한 [[위치 에너지]]함수의 기울기벡터장이다.
== 함께 보기 ==
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