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2013년 1월 27일 (일) 18:42 판
델 연산자는 벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수의 발산이나 회전등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 를 미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 를 라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.
수학적 정의
3차원 공간 에서 델 연산자는 로 정의 된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자는 다음과 같이 정의된다.
여기서 는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.
그래디언트
델 연산자를 어떤 함수 에 적용시키자.
이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.
발산
어떤 벡터장 의 발산 또는 다이버전스는 델 연산자와의 스칼라곱으로 정의된다.
여기서 는 벡터장 의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.
회전
어떤 벡터장 의 회전 또는 돌개는 델 연산자와의 벡터곱으로 정의된다.
여기서 는 벡터장 의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 또는 는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.
라플라시안
라플라시안또는 라플라스 연산자 은 그래디언트의 발산 (벡터)로 정의된다.
역사
델 연산자는 윌리엄 로원 해밀턴이 사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 와 곱하면 의 그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장 와 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다. 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.
델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 현재의 발산을 컨버전스(convergence)로, 현재의 회전을 로테이션(rotation)으로 적으면서