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나블라 기호를
사용하여 표시하는
델 연산자

델 연산자는 벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수의 발산이나 회전등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 $y=f\left(x\right)$를 미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 $y$를 ${\frac {d}{dx}}$라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.

수학적 정의

3차원 공간 $\mathbb {R} ^{3}$에서 델 연산자는 $\nabla =\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}$로 정의 된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자는 다음과 같이 정의된다.

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

여기서 $\mathbf {e} _{i}$는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.

그래디언트

 기울기 (벡터) 문서를 참고하십시오.

델 연산자를 어떤 함수 $f:A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$에 적용시키자.

$\nabla f=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}$

이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

발산

 이 부분의 본문은 발산 (벡터)입니다.

어떤 벡터장 $\mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$의 발산 또는 다이버전스는 델 연산자와의 스칼라곱으로 정의된다.

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(F_{1}\mathbf {i} +F_{2}\mathbf {j} +F_{3}\mathbf {k} \right)={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}$

여기서 $F_{1},~F_{2},~F_{3}$는 벡터장 $\mathbf {F}$의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.

회전

 이 부분의 본문은 회전 (벡터)입니다.

어떤 벡터장 $\mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$의 회전 또는 돌개는 델 연산자와의 벡터곱으로 정의된다.

$\operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {j} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

여기서 $F_{1},~F_{2},~F_{3}$는 벡터장 $\mathbf {F}$의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 $\operatorname {curl} F$ 또는 $\nabla \times F$는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 $\mathbf {k}$성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.

라플라시안

 이 부분의 본문은 라플라스 연산자입니다.

라플라시안또는 라플라스 연산자 $\nabla ^{2}$은 그래디언트의 발산 (벡터)로 정의된다.

$\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \left(\nabla f\right)=\left(\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left(\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial f}{\partial z}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.

역사

델 연산자는 윌리엄 로원 해밀턴이 사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k}$로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 $f$와 곱하면 $f$의 그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장 $\mathbf {V}$와 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다. 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 현재의 발산을 컨버전스(convergence)로, 현재의 회전을 로테이션(rotation)으로 적으면서