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{{양자역학}}
[[양자역학]]에서, '''해밀토니언'''({{lang|en|Hamiltonian}})은 양자 상태의 시간 변화를 생성하는 [[에르미트 행렬|에르미트]] 연산자이다. 이는 고전 [[해밀턴 역학]]에서의 [[해밀턴 역학#전개|해밀토니언]]을 [[양자화 (물리학)|양자화]]하여 얻을 수 있고, 고전적인 [[에너지]]를 나타낸다.
 
'''해밀토니언'''({{lang|en|Hamiltonian}})은 입자나 장(場)의 [[계 (물리학)|계]]의 에너지를 공간 [[좌표]]와 [[운동량]] 좌표로 표현한 것 또는 [[양자역학]]에서 이 값을 [[양자화]]한 [[연산자]]를 말한다. 후자는 '''해밀턴 연산자'''라고도 한다.
<!-- 여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 한 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤례인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.
 
당초 고전역학에서는 T를 운동에너지, V를 위치에너지로 전에너지 H를
 
:<math> H = H(q,p;t) \, = T + V </math>
 
로 일반좌표 ''q'', 일반운동량 ''p'' 에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다. -->
 
== 고전역학에서의 해밀토니언 ==
[[고전역학]]에서 해밀토니언 H는 [[라그랑지언]] L의 [[일반화 좌표|일반화 속도]]를 [[일반화 운동량]]으로 [[르장드르 변환]]한 것을 말한다.
:<math>H(q_i, \; p_i ,\; t) \equiv \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q_i, \; \dot{q}_i ,\; t) </math>
 
당초 고전역학에서는 T를 운동에너지[[운동 에너지]], V를U를 [[위치 위치에너지로에너지]]로 전에너지 H를
:<math>H(q_i, \; p_i ,\; t) \equiv \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q_i, \; \dot{q}_i ,\; t) </math>
:<math> H = H(q,p;t) \, = T(p) + V U(q)</math>
로 일반좌표 ''q'', 일반운동량 ''p'' 에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다. -->
 
=== 해밀토니언과 역학적 에너지 ===
이 된다. 이러한 경우, 해밀토니언 H를 역학적 [[에너지]] E라 정의한다.
 
그리고, 해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.
:<math>{dH \over dt} = {\partial H \over \partial t} + \sum_i {\partial H \over \partial q_i} \dot{q}_i + \sum_i {\partial H \over \partial p_i} \dot{p}_i</math>
그런데 여기에 [[해밀턴 방정식]] <math>\partial H / \partial q_i = - \dot{p}_i</math>, <math>\partial H / \partial p_i = \dot{q}_i</math> 을 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있다.