치환 적분: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
잔글 주석 추가 |
관련 정리 추가 |
||
25번째 줄:
<math>f</math>의 [[부정적분|역도함수]]를 <math>F</math>라 하자. 위의 [[치환적분#공식 : 부정적분 꼴|부정적분 꼴 공식]]에 의하여 <math>f(g(t)) g'\left( t\right)</math>의 [[부정적분|역도함수]]는 <math>F\left( g\left( t\right)\right)</math>이고 [[미적분학의 기본정리#제2기본정리|미적분학의 제 2 기본정리]]에의하여 좌변은 <math>F\left( g\left( t\right)\right)\Big]^b_a=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)</math>이다. 우변에도 [[미적분학의 기본정리#제2기본정리|미적분학의 제 2 기본정리]]을 사용해주면 <math>F\left( x\right)\Big]^{g\left( b\right)}_{g\left( a\right)}=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)</math>이다. 따라서 <math>\int_{a}^{b}f\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=\int_{g\left( a\right)}^{g\left( b\right)}f\left( x\right) dx</math>이다.
== 공식 : 정적분 꼴 ==
함수 <math>f:A\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>와 <math>g:B\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>가 <math>g\left( B\right)\sub A</math>이고 <math>f</math>가 <math>g\left( B\right)</math>에서 [[연속함수|연속]]이며 <math>g'</math>이 <math>B</math>에서 [[연속함수|연속]]일 때 만약 <math>\left[ a,b\right]\sub B</math>라면
:<math>
\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx
</math>
가 성립한다.
===증명===
<math>f</math>의 [[부정적분|역도함수]]를 <math>F</math>라 하자. 위의 [[치환적분#공식 : 부정적분 꼴|부정적분 꼴 공식]]에 의하여 <math>f(g(t)) g'\left( t\right)</math>의 [[부정적분|역도함수]]는 <math>F\left( g\left( t\right)\right)</math>이고 [[미적분학의 기본정리#제2기본정리|미적분학의 제 2 기본정리]]에의하여 좌변은 <math>F\left( g\left( t\right)\right)\Big]^b_a=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)</math>이다. 우변에도 [[미적분학의 기본정리#제2기본정리|미적분학의 제 2 기본정리]]을 사용해주면 <math>F\left( x\right)\Big]^{g\left( b\right)}_{g\left( a\right)}=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)</math>이다. 따라서 <math>\int_{a}^{b}f\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=\int_{g\left( a\right)}^{g\left( b\right)}f\left( x\right) dx</math>이다.
==관련 정리==
===대칭함수의 적분===
{{참고|홀함수와 짝함수}}
함수 <math>f:A\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>가 개구간 <math>I=\left[ a,a\right]\sub A</math>에서 [[연속함수|연속]]일때
#<math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#짝함수|짝함수]]라면 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이다.
#<math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#홀함수|홀함수]]라면 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=0</math>이다.
;증명:<math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( t\right) dt+\int^0_{-a}f\left( t\right) dt=-\int^{-a}_0f\left( t\right) dt+\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이므로 첫항을 <math>x=g\left( t\right) =-t</math> 치환을 한다면<ref>새로운 함수 <math>h\left( t\right) =f\left( -t\right)</math>를 잡아주면 <math>g'\left( t\right) =-1</math>이므로 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{-a}_0h\left( -t\right) dt=-\int^{-a}_0h\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right)dt</math>이므로 위에서 보인바와 같이 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{g\left( -a\right)}_{g\left( 0\right)}h\left( x\right) dx</math><math>=\int^a_0h\left( x\right) dx</math>이다. <math>h\left( t\right) =f\left( -t\right)</math>이므로 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( -x\right) dx</math>이다.</ref> <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=-\left( -\int^a_0f\left( -x\right) dx\right) +\int^a_0f\left( t\right) dt</math><math>=\int^a_0f\left( -x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt</math>을 얻을 수 있다.</br><math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#짝함수|짝함수]]라면 <math>f\left( -x\right) =f\left( x\right)</math>이므로 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이고<ref>'''주의''': [[부정적분]]의 경우 <math>x</math>와 <math>t</math>가 종속변수라면 <math>x=t</math>가 아닌이상 <math>\int f\left( t\right) dt\ne\int f\left( x\right) dx</math>이다. 하지만 [[정적분]]의 경우 결과는 함수가 아닌 숫자이므로 관계가 없다.</ref></br><math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#홀함수|홀함수]]라면 <math>f\left( -x\right) =-f\left( x\right)</math>이므로 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0-f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=0</math>이다.<ref>[[치환적분#cite_note-2|위]]와 마찬가지</ref>
== 사용 예 ==
==주석==
| |||