"당김 (미분기하학)"의 두 판 사이의 차이

 
== 정의 ==
<math>\phi\colon M\to N</math>을 미분가능한 함수라고 하고, <math>\omega(v_1,\dots,v_k)</math>가 <math>k</math>차 공변 텐서(<math>k</math>개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 <math>M</math> 위에 정의된 <math>k</math>차 텐서 <math>\phi^*\omega</math>를 다음과 같이 정할 수 있다.
유클리드 공간에서 미분형식의 '''당김'''은 다음과 같다.
:<math> ( f\phi^* \omega ) _p (v_1 , \cdots dots, v_k ) = \omega _{f(p)} (df_p d\phi_p(v_1) , \cdots df_p dots,d\phi_p(v_k))</math>.
여기서 <math>p\in M</math>, <math>v_i\in T_pM</math> (점 <math>p</math>에서의 [[접공간]]), <math>d\phi_p\colon T_pM\to T_pN</math>은 점 <math>p</math>에서 <math>\phi</math>의 [[미분]]이다.
 
(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 <math>f</math>의 당김은 [[합성함수|함수의 합성]]과 같다. 즉,
''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''m''</sup> 를 미분가능한 [[함수]]라 하자. 이러한 함수가 주어지면 '''R'''<sup>''n''</sup> 에서의 [[미분형식|''k''-형식]] &omega; 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 ''k''-형식으로 바꾸는 ''f''에 의해 유도된 함수 ''f'' <sup>*</sup> 를 생각할 수 있다.
:<math>f\phi^* (\omega) f= \omega f\circ f\phi</math>
:<math> ( f^* \omega ) _p (v_1 , \cdots , v_k ) = \omega _{f(p)} (df_p (v_1) , \cdots df_p (v_k))</math>
이다.
여기서 ''p'' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup>, ''v''<sub>1</sub>, &hellip;, ''v''<sub>''k''</sub> &isin; '''R'''<sup>''n''</sup><sub>''p''</sub> ('''R'''<sup>''n''</sup> 에서의 점 ''p'' 에서의 [[접공간]]), ''df''<sub>''p''</sub> : '''R'''<sup>''n''</sup><sub>''p''</sub> &rarr; '''R'''<sup>''m''</sup><sub>''f''(''p'')</sub> 는 점 ''p'' 에서 ''f'' 의 [[미분]]이다.
 
=== 성질 ===
이는 변수의 치환과 동등하기 때문에 관습적으로 당김을 다음과 같이 쓰기도 한다.
:<math>f^* (\omega) = \omega \circ f</math>
 
=== 성질 ===
''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''m''</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>''p''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup> 를 미분가능한 [[함수]], &alpha; 와 &beta; 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 ''k''-형식, ''&gamma;'' : '''R'''<sup>''m''</sup> &rarr; '''R''' 를 '''R'''<sup>''m''</sup> 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.
*<math> f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha) + f^* (\beta) \;</math>