리 대수의 표현: 두 판 사이의 차이

'''리 대수의 표현'''(Lie代數-表現, {{llang|en|representation of a Lie algebra}})은 주어진 [[리 대수]]를 [[벡터공간]]의 [[선형변환]]의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형사상이다. [[군 표현론|군의 표현]]과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 [[리 군]]의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

 

[[체 (수학)|체]] <math>\mathbb F</math>에 대한 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의, 같은 체 <math>\mathbb F</math>에 대한 벡터공간 <math>V</math> 위의'''표현''' 은 리 대수 [[준동형사상]] <math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)</math>이다. 여기서 <math>\mathfrak{gl}(V)</math>는 [[자기준동형사상]]({{lang|en|endomorphism}})의 리 대수다. (<math>V</math>가 유한차원인 경우, 그 자기준동형사상은 [[행렬]]이다.)

 

리 대수의 '''딸림표현'''({{llang|en|adjoint representation}})은 이를 스스로 위에 표현한 것이다. 다음과 같다. 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 주어지면, 딸림표현 <math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math>를 <math>\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]</math>와 같이 정의한다. 이는 리 대수를 이루며, 모든 리 대수는 딸림표현을 지닌다.

 

표현 <math>\rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}})는 [[카르탕 부분대수]]의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 [[고유벡터]]의 [[고유값]]들의 모임이다. 즉, [[카르탕 부분대수]]를 <math>\mathfrak h\subset\mathfrak g</math>로 쓰면, <math>\rho</math>의 무게 <math>\lambda\in\mathfrak h^*</math><ref>(대수적) [[쌍대공간|쌍대벡터공간]]</ref>는 적어도 하나의 0이 아닌 <math>v\in V</math>가 모든 <math>\xi\in\mathfrak h</math>에 대하여 <math>\rho(\xi)v=\lambda(\xi)v</math>를 만족한다.

 

딸림표현의 무게의 집합은 [[근계]]를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

 

* J.Humphreys, ''Introduction to Lie algebras and representation theory'', Birkhäuser, 2000

{{주석}}

 

* [[리 대수]]

* [[근계]]

 

[[분류:추상대수학]]