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'''초한귀납법'''(transfinite induction)은 [[수학적 귀납법]]을 [[자연수]]뿐만이 아니라 일반적인 [[정렬순서집합]]에 적용할 수 있도록 확장한 것으로, [[서수]]나 [[기수 (수학)|기수]]들의 집합을집합에 비롯한 커다란 [[정렬순서집합]]에 적용시킬 수 있도록 확장한주로 것이다사용된다.
 
== 초한귀납법 ==
초한귀납법은 특정한 성질 P(α)가 모든 [[서수]] α에 대해 성립함을 증명하기 위한 방법이다. 증명은 대체로 다음의 세 단계로 이루어진다:
 
초한귀납법은 특정한 성질 P(α)가 모든 [[서수]] α에 대해 성립함을 증명하기 위한 방법이다. 증명은초한귀납법은 대체로다음을 다음의 세 단계로 이루어진다:증명한다.
*P(0)이 성립함을 증명한다.
*임의의 [[따름서수]] β+1에 대해, P(β)를 가정하고 P(β+1)을 증명한다. (필요할 경우 β보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것도 가정해도 된다.)
*임의의 [[극한서수]] λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것을 가정하고 P(λ)를 증명한다.
 
* 임의의 [[서수]] α에 대해, α보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다면 P(α)라는 것을 증명한다.
즉, 위의 세 가지 성질이 성립할 경우 P(α)는 모든 서수 α에 대해 참이다. 여기서 수학적 귀납법과의 유일한 차이는, 서수는 계속 1을 더해가는 방법으로는 전부 만들어낼 수 없기에 극한서수의 경우를 따로 고려해준다는 것뿐이다. 위의 내용을 잘 보면 알 수 있듯이 따름서수의 경우와 극한서수의 경우에서 증명할 내용은 사실상 동일하다.
 
보통 이 증명 과정은 다음의 세 단계로 나뉜다.
==초한반복==
 
* P(0)이 성립함을 증명한다.
* 임의의 [[따름서수]] β+1에 대해, P(β)를 가정하고(혹은 P(β+1)을 증명한다. (필요할 경우 β보다 작은이하의 모든 γ에 대해 P(γ) 성립한다는가정하고) 것도P(β+1)을 가정해도 된다증명한다.)
* 임의의 [[극한서수]] λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것을 가정하고 P(λ)를 증명한다.
 
즉, 위의 세 가지 성질이 성립할 경우 P(α)는 모든 서수 α에 대해 참이다. 여기서이 과정에서 수학적 귀납법과의귀납법과 차이가 유일한되는 차이는부분은 극한서수인데, 서수는따름서수는 P(β)를 가정하고 P(β+1)을 증명하여도 되지만 극한서수는 계속 1을 더해가는 방법으로는 전부 만들어낼 수 없기에 극한서수의 경우를 따로 고려해준다는 것뿐이다. 위의 내용을 잘 보면 알 수 있듯이 따름서수의 경우와 극한서수의 경우에서 증명할 내용은 사실상 동일하다.
만약 따름서수의 경우에도 β보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것을 가정하는 경우, 따름서수와 극한서수의 조건은 동일하다. 다만 일반적으로 두 경우 증명 방법이 크게 달라지기 때문에 이를 구분하는 것이 편리한 것 뿐이다.
 
== 초한반복 ==
'''초한반복'''(transfinite recursion)은 집합들의 열 A<sub>α</sub>를 모든 서수 α에 대해 정의하기 위해 초한귀납법과 유사한 과정을 사용한다. 구체적으로는 다음의 세 단계가 필요하다.
*A<sub>0</sub>을 정의한다.

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