프리드만 방정식: 두 판 사이의 차이
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프리드만 방정식은 [[프리드만-로버트슨-워커 계량]](Friedmann-Robertson-Walker metric)을 아인슈타인 방정식에 넣고 풀면 얻을 수 있다. <math>c=1, h=1</math>로 두는 [[자연단위계]](natural unit)에서 프리드만 방정식은 다음과 같다.
<center><math>3(\frac{\dot{a}}{a})^2+3\frac{K}{a^2}=8\pi G\rho</math>
여기에서 <math>\rho</math>는 우주에 있는 모든 물질의 밀도를 더한 값이며, <math>K</math>는 [[우주의 공간곡률]](spatial curvature)이고, a는 우주의 상대적인 크기를 결정해주는 [[스케일 펙터]](scale factor)이다.
즉, 이 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 정해져 있을 때, 우주의 크기가 어떻게 변하는지를 기술한다.
특히, 스케일 펙터의 변화율을 나타내는 <math>\dot{a}/{a}</math>는 허블상수, <math>H(t)</math>, 인데, 허블상수는 우주 전체에 걸쳐 같은 값을 갖는다는 의미에서는 '상수'이지만, 일반적으로 시간의 함수이다. 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙을 발견했는데, 이를 수식으로 표현하면,
<center><math>\vec{v} = H \vec{r}</math></center>
이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블상수 이다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로써 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를 <math>\vec{x}</math>라고 하자. 좌표 <math>\vec{x}_1</math>과, <math>\vec{x}_2</math>에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 <math>t</math> 일때 두 은하 사이의 거리는
<center><math>\vec{r}(t)=a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)</math></center>
로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.
<center><math>\vec{v}(t)=\dot{a}(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2) =\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)</math></center>
[[분류:상대성 이론]]
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