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#<math>\sqrt{2}</math>가 유리수라고 가정한다. 따라서 <math>\sqrt{2} = \frac{b}{a}</math>으로 둘 수 있다. (<math>a, b</math>는 [[서로소 (수론)|서로소]]인 자연수)
#<math>2a^{2} = b^{2}</math>이므로 <math>b^{2}</math>는 2의 배수이다. <math>b^{2}</math>이 2의 배수이므로, <math>b</math>도 2의 배수이다. 따라서 <math>b=2b'</math>로 둘 수 있다.
#<math>b^{2}</math>이 2의 배수이므로, <math>b</math>도 2의 배수이다. 따라서 <math>b=2b'</math>로 둘 수 있다. (여기서 <math>b'</math>는 자연수)
#<math>2b'^{2} = a^{2}</math>이므로 <math>a</math>는 2의 배수이다. 이는 <math>a, b</math>가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 <math>\sqrt{2}</math>는 유리수가 아니다.