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1번째 줄: {{출처 필요}} [[수학]]과 [[결정학]]에서, '''결정학적 점군'''(~~{{lang\|ko-Hani\|~~結晶學的點群}}, {{lang\|en\|crystallographical point group}}) 또는 '''결정급'''(~~{{lang\|ko-Hani\|~~結晶級}}, {{lang\|en\|crystal class}})이란 그 회전 변환이 60도, 90도, 120도, 또는 180도로 제한된 [[점군]]이다. 즉, 오직 특정 각의 회전 변환만을 포함하고, 원점을 보존하는 [[유클리드 공간]]의 [[등거리변환]]군의 유한 [[부분군]]이다. [[결정학]]에서는 ([[준결정]]을 제외한) [[결정 구조]]의 국소적인 대칭을 나타낸다. (국소적이지 않은 대칭은 [[공간군]]에 따라 분류한다.) [[무기화학]]에서는 [[분자]]의 대칭을 나타낸다. == 정의 == 9번째 줄: === 쇤플리스 표기법 === '''쇤플리스 표기법'''({{lang\|en\|Schoenflies notation}})은 독일의 아르투어 모리츠 쇤플리스({{lang\|de\|Arthur Moritz Schoenflies}})가 도입하였다.<ref>{{책 인용\| url=http://www.iucr.org/__data/assets/pdf_file/0012/750/schoenfl.pdf\|이름=P. P.\|성=Ewald\|제목=Fifty Years of X-Ray Diffraction\|쪽=351–353\|연도=1962}}</ref> 보통 [[화학]]에서 쓰인다. 쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다. * O는 [[정육면체]] 또는 [[정팔면체]]의 대칭군이다. ({{llang\|de\|Oktaeder}} 정팔면체) [[반사 대칭]]을 포함할 경우에는 O<sub>h</sub>로, 포함하지 않는 경우에는 O로 쓴다. * T는 [[정사면체]]의 대칭군이다. ({{llang\|de\|Tetraeder}} 정사면체) 모든 반사 대칭을 포함할 경우에는 T<sub>d</sub>로, 모든 반사 대칭을 포함하지는 않지만 반전({{lang\|en\|inversion}}) 대칭을 포함하는 경우는 T<sub>h</sub>로, 그 어떤 반사 및 반전 대칭도 포함하지 않는 경우에는 T로 쓴다. * C<sub>''n''</sub> (<math>n=1,2,3,4,6</math>)은 [[순환군]]이다. ({{llang\|en\|cyclic}} 순환군) 첨자 <math>n</math>은 <math>2\pi/n</math> [[라디안]] 회전 변환을 포함함을 뜻한다. 여기에 회전축에 수직인 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C<sub>''n''h</sub>로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C<sub>''n''v</sub>로, 어떤 반사 대칭도 포함하지 않는 경우에는 C<sub>''n''</sub>으로 쓴다. C<sub>1</sub>은 아무 대칭을 포함하지 않는 [[자명군]]이다. C<sub>1h</sub>와 C<sub>1v</sub>는 같은 군이며, 하나의 반사 대칭만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이 군은 간혹 C<sub>s</sub>로 쓰기도 한다. * S<sub>''n''</sub> (<math>n=2,4,6</math>)은 <math>2\pi/n</math> 라디안 회전반사 대칭에 의하여 생성되는 [[순환군]]이다. ({{llang\|de\|Spiegel}} 거울) 즉, <math>2\pi/n</math> 라디안 회전과 회전축에 대하여 수직인 반사면에 대한 반사 대칭의 합성에 의하여 생성된다. S<sub>2</sub>는 반전 대칭(= 180도 회전반사 대칭)만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이는 간혹 C<sub>i</sub>로 쓰기도 한다. S<sub>6</sub>은 60도 회전반사 대칭만을 포함하는, 크기가 6인 군이다. 이는 간혹 C<sub>3i</sub>로 쓰기도 한다. * D<sub>''n''</sub> (<math>n=2,3,4,6</math>)은 <math>2\pi/n</math> 라디안 회전 대칭을 포함하는 [[정이면체군]]이다. ({{llang\|de\|Dieder}} 정이면체군) 여기에 회전축에 수직한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D<sub>''n''h</sub>로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D<sub>''n''v</sub>로, 반사 대칭을 포함하지 않는 경우는 D<sub>''n''</sub>로 쓴다. 다만, D<sub>4d</sub>와 D<sub>6d</sub>는 불가능하다. ** D<sub>2</sub>는 [[클라인 4원군]]이며, 간혹 V로 쓰기도 한다. ({{llang\|de\|Viergruppe}} 4원군) 27번째 줄: 이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각 * 1, <u style="text-decoration:overline">1</u> * 2, m, <sup>2</sup>&frasl;<sub>m</sub> * 222, mm2, mmm * 4,<u style="text-decoration:overline">4</u>, <sup>4</sup>&frasl;<sub>m</sub>, 422, 4mm, <u style="text-decoration:overline">4</u>2m, <sup>4</sup>&frasl;<sub>m</sub>mm * 3, <u style="text-decoration:overline">3</u>, 32, 3m, <u style="text-decoration:overline">3</u>m * 6, <u style="text-decoration:overline">6</u>, <sup>6</sup>&frasl;<sub>m</sub>, 622, 6mm, <u style="text-decoration:overline">6</u>2m, <sup>6</sup>&frasl;<sub>m</sub>mm * 23, m<u style="text-decoration:overline">3</u>, 432, <u style="text-decoration:overline">4</u>3m, m<u style="text-decoration:overline">3</u>m 이다.

결정학적 점군: 두 판 사이의 차이