측지선: 두 판 사이의 차이

[[거리공간]]에서, 측지선은 서로 다른 점 두 개를 연결하는 (국소적으로) 가장 짧은 [[곡선]]이다. 이 때, 길이가 두 점 사이의 거리와 똑같은 측지선을 '''최단측지선'''이라고 한다.

 

[[그래프 이론]]에서는 거리 공간의 특수한 경우로 (연결된) [[그래프]]에서의 측지선을 생각해 볼 수 있다. 이 경우 측지선은 두 꼭지점을 잇는, 가장 작은 수의 변들을 지나는 경로가 된다.

 

[[아핀 접속]]이 정의된 [[다양체]]에서, 측지선은 [[곡선]] 중에서 접벡터가 곡선을 따라 이동할 때 평행을 유지하는 ([[측지곡률]]이 항상 0인) [[곡선]]이다. [[리만 다양체]]에서는 리만 구조에 의하여 (레비치비타) 접속이 존재하고, 또한 리만 구조에 의하여 (국소적으로) 곡선의 정의를 정의할 수 있다. 이 경우, 측지선은 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다. (유사 리만 다양체에서는 국소적으로 거리를 최소화하거나, 최대화하거나, 정류화하게 된다.) 예를 들어, 리만 다양체로서, [[유클리드 공간]]의 측지선은 [[직선]]이고, [[구 (기하)|구면]]의 측지선은 [[대원]]이다.

 

:<math>\ddot x^\rho(s)=-\sum_{\mu,\nu}\Gamma^\rho_{\mu\nu}(x(s))\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s)</math>.

여기서 <math>x^\mu(s)</math>는 곡선, <math>\dot x^\mu(s)\in T_xM</math>은 곡선의 접선, <math>\Gamma^\rho_{\mu\nu}</math>는 곡률을 나타내는 값인 [[크리스토펠 기호]]다.

[[일반상대성이론]]에서는 [[시공]]은 유사 리만 다양체를 이룬다. 이 때, [[시험 입자]] ([[에너지]]와 [[운동량]]이 무시할 수 있을 정도로 작은 입자)는 [[시공]]의 측지선을 따라 움직인다.

 

<references/>