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프리드만 방정식: 두 판 사이의 차이

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{{물리우주론}}
[[우주론물리우주론]]에서, '''프리드먼프리드만 방정식'''(Фридман方程式, {{langllang|en|Friedmann equation}})은 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 [[미분방정식]]이다. 러시아의 수학자 [[알렉산드르 프리드만]]({{langllang|ru|Алекса́ндр Алекса́ндрович Фри́дман}})의 이름을 딴 것이다.
 
== 전개 ==
프리드먼프리드만 방정식은 [[프리드만-로버트슨-워커 계량]](Friedmann-Robertson-Walker metric)을 [[아인슈타인 방정식]]에 넣고 풀면 얻을 수 있다. c=1, h=1로 두는 [[자연단위계]](natural unit)에서 프리드만 방정식은 다음과 같다.
 
<center><math>3(\frac{\dot{a}}{a})^2+3\frac{K}{a^2}=8\pi G\rho +\Lambda</math></center>
 
여기에서 <math>\rho</math>는 우주에 있는 모든 물질의 밀도를 더한 값이며, <math>\Lambda</math>는 [[우주상수우주 상수]] (cosmological constant), <math>K</math>는 [[우주의 공간곡률]](spatial curvature)이고, a는 우주의 상대적인 크기를 결정해주는결정하는 [[스케일 펙터척도인자]](scale factor)이다.
즉, 이 방정식은 [[우주의 밀도]]와 곡률이 정해져 있을 때, 우주의 크기가 어떻게 변하는지를 기술한다.
 
== 허블상수허블 H(t)상수 ==
{{본문|허블의 법칙}}
 
[[척도인자]]의 변화율을 [[허블 상수]] <math>H(t)</math>로 정의한다.
특히, 스케일 펙터의 변화율을 나타내는 <math>\dot{a}/{a}</math>는 [[허블상수]], <math>H(t)</math>, 인데, 허블상수는 우주 전체에 걸쳐 같은 값을 갖는다는 의미에서는 '상수'이지만, 일반적으로 시간의 함수이다. 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 [[허블의 법칙]]을 발견했는데, 이를 수식으로 표현하면,▼
:<math>\dot{a}/{a}=H(t)</math>
 
▲특히,허블 스케일상수는 펙터의이름과 변화율을달리 나타내는시간에 <math>\dot{a}/{a}</math>는 [[허블상수]], <math>H(t)</math>, 인데, 허블상수는 우주 전체에 걸쳐 같은 값을 갖는다는 의미에서는 '상수'이지만, 일반적으로 시간의대한 함수이다. 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 [[허블의 법칙]]을 발견했는데, 이를 수식으로 표현하면,
<center>:<math>\vec{v} = H \vec{r}</math></center>
 
이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블상수허블 이다상수다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로써 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를 <math>\vec{x}</math>라고 하자. 좌표 <math>\vec{x}_1</math>과, <math>\vec{x}_2</math>에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 <math>t</math> 일 때 두 은하 사이의 거리는
<center>:<math>\vec{r}(t)=a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)</math></center>▼
 
▲<center><math>\vec{r}(t)=a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)</math></center>
 
로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.
<center>:<math>\vec{v}(t)=\dot{a}(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2) =\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=H(t)\vec{r}(t)</math></center>▼
 
▲<center><math>\vec{v}(t)=\dot{a}(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2) =\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}a(t)(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=H(t)\vec{r}(t)</math></center>
 
[[분류:상대성 이론]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/프리드만_방정식"