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집합 ''A'', ''B''가 있을 때
:x ∈ A ⇒ x ∈ B
의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 ''A''는 ''B''의 부분집합이라고 한다. 기호로는 ''<math>A'' ⊆\subset ''B''</math> 또는 <math>A \subseteq B</math>로 표기한다나타낸다.
''A'' = ''B''인 경우에도 A가A는 B의 부분집합이 성립한다된다. ''A''와 ''B''가 같지 않은 경우, 즉 ''<math>A'' ⊆\subset ''B''</math>이고 ''<math>A'' ≠\ne ''B''</math>인 경우에 ''A''는 ''B''의 '''진부분집합'''이라고 한다. 기호로는 <math>A \subsetneq B</math>, 또는 ''A'' ⊂ ''B''로 표기한다나타낸다.
부분집합을''A'' ⊂ ''B''로, 진부분집합을 <math>A\subsetneq B</math>로 표시하는 경우도 있다.
== 예 ==
:''A'' = {4,10}
:''B'' = {1,4,7,10,13}
:이 경우 ''<math>A'' ⊆\subset ''B''</math> 이다. 나아가 ''A'' ≠ ''B'' 이기 때문에, ''<math>A'' ⊂\subsetneq ''B''</math> 라고 할 수 있다.
== 정리 ==
다음에서 A,B,C를 집합, S를U를 [[전체집합]]이라 하자.
*[[공집합]] Ø은 모든 집합의 부분집합이다.
*A ⊆ A
*A ⊆ B 이고, B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 [[역 (수학)|역]]도 [[참 (수학)|참]]이다.
*A ⊆ B 이고, B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
*A ⊆ SU
*A ⊆ (A ∪ B)
*A ⊆ C 이고, B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
*A ∩ B ⊆ A
*C ⊆ A 이고, C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
*다음은 [[동치]]이다.
**A ⊆ B
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