"함자 (수학)"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
C와''C''와 D가''D''가 [[범주 (수학)|범주]]라 하자. 이때 F가''C''와 C에서''D'' D로의사이의 '''함자'''라는 것은<math>F\colon C\to D</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 <math>F(X)가 대응되며,</math>
* C의 임의의 사상 <math>f:\colon X\to -Y</math> Y에 대해 대응되는 D의 사상 <math>F(f):\colon F(X) ->\to F(Y)가 대응되고,</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* C의 임의의 대상 X에 대해 <math>F(id_{X}) = id_{F(X)}</math>이며,
* (항등사상의 보존) <math>F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}</math>이다.
* (사상 합성의 보존) C의 임의의 사상 <math>f:\colon X \rightarrowto Y</math>와 <math>g:\colon Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math>임을 말한다.
즉, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.
 
즉, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다. 정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 '''자기함자'''(自己函子, {{llang|en|endofunctor|엔도펑터}})라고 한다.
 
=== 공변성과공변함자과 반변성반변함자 ===
수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 F가 C에서 D로의 '''반변함자'''(反變函子, {{llang|en|contravariant functor}})라는 것을다음과 다음의같은 경우로데이터로 정의한다:구성된다.
* C의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 <math>F(X)가 대응되며,</math>
* C의 임의의 사상 <math>f:\colon X\to -Y</math> Y에 대해 대응되는 D의 사상 <math>F(f):\colon F(Y) ->\to F(X)가 대응되고,</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* C의 임의의 대상 X에 대해 <math>F(id_{X}) = id_{F(X)}</math>이며,
* (항등사상의 보존) <math>F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}</math>이다.
* (사상 합성의 반변) C의 임의의 사상 <math>f:\colon X \rightarrowto Y</math>와 <math>g:\colon Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(f g\circ gf) = F(gf) \circ F(fg)</math>이다.
 
즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀜에 주의하라바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 '''공변함자'''(共變函子, {{llang|en|covariant functor}})라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 [[쌍대범주]]의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 <math>F: C\rightarrow D</math>가 반변함자라고 말하는 대신 <math>F: C^{op} \rightarrow D</math>(혹은 <math>F:C \rightarrow D^{op}</math>)가 (공변)함자라고 말한다.
 
== 예 ==