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자연 변환: 두 판 사이의 차이

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[[범주론]]에서, '''자연 변환'''(自然變換, {{lang|en|natural transformation}})은 두 [[펑터함자 (수학)|함자]] 사이에 [[범주 (수학)|범주]]적 구조를 보존하는 변환이다. 펑터의함자의 범주에서의 [[사상 (범주론)|사상]]으로 생각할 수 있다.
 
== 정의 ==
<math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>가 (공변) [[펑터함자 (수학)|함자]]라고 하자. 그렇다면 <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 '''자연 변환''' <math>\eta\colon F\Rightarrow G</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 모든 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[사상 (범주론)|사상]] <math>\eta_X\colon F(X)\to G(X)</math>
이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 [[사상 (범주론)|사상]] <math>f\colon X\to Y</math> (<math>X,Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>)에 대하여,
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:[[파일:Natural transformation.svg|175px]]
 
마찬가지로, 반변 [[펑터반변함자]] <math>F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D^{\operatorname{op}}</math> 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.
 
'''자연동형사상'''(自然同形寫像, {{lang|en|natural isomorphism}})은 모든 <math>\eta_X</math>가 [[동형사상]]을 이루는 자연 변환 <math>\eta</math>이다. 두 펑터함자 사이에 자연동형사상이 존재하는 경우, 두 펑터가함자가 '''자연동형'''({{lang|en|naturally isomorphic}})이라고 한다.
 
== 예제 ==
[[군론]]에서, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 반대군({{lang|en|opposite group}}) <math>G^{\operatorname{op}}</math>은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 [[펑터]]함자 <math>\mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}</math>를 이룬다. (여기서 <math>\mathrm{Grp}</math>는 군과 [[군 준동형사상]]의 범주다.) 이 펑터는 항등 펑터항등함자 <math>\mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}</math>와 자연동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.
 
(실수 또는 복소수) 유한 차원 [[벡터공간]] <math>V</math>는 그 [[쌍대공간]] <math>V^*</math>과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 펑터 함자<math>\mathrm{FinVect}\to\mathrm{FinVect}</math>는 항등 펑터와항등함자와 자연동형이지 않다. 이는 쌍대공간을 정의하기 위해서는 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 골라야 하는데, 임의의 벡터공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 [[내적공간]]의 범주의 경우, 쌍대공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대 펑터는 항등쌍대함자는 펑터와항등함자와 자기동형이다.
 
== 역사 ==
[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 1945년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1990284|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자고리=사무엘 에일렌베르크|공저자=[[손더스 매클레인|Saunders Mac Lane]]|제목=General theory of natural equivalences|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=58|호=2|연도=1945|월=9|쪽=231–294}}</ref><ref>{{책 인용|장=[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory Category theory]|제목=Stanford Encyclopedia of Philosophy|이름=Jean-Pierre|성=Marquis|날짜=2010-02-25|출판사=Metaphysics Research Lab, Stanford University}}</ref> 이 논문은 [[범주론]]의 시초로 여겨진다. 매클레인은 훗날 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|내가 [[범주 (수학)|범주]]를 발명한 이유는 [[펑터함자 (수학)|함자]]를 다루기 위해서가 아니라 자연 변환을 다루기 위해서이다. ({{lang|en|I didn't invent categories to study functors; I invented them to study natural transformations.}})|[[손더스 맥레인매클레인]]<ref>{{citation| first = Saunders | last = Mac Lane|저자고리=손더스 매클레인| year = 1998 | title = Categories for the Working Mathematician | 기타 = Graduate Texts in Mathematics 5| edition = 2판 | publisher = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98403-8}}</ref>}}
 
== 참고 문헌 ==
{{주석}}
* {{citation책 인용|first=Saunders|last=MacLane|저자고리=손더스 매클레인|공저자=Garrett Birkhoff|title=Algebra|edition=3판|publisher=AMS Chelsea Publishing|year=1999|isbn=0-8218-1646-2}}
 
[[분류:펑터]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/자연_변환"