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'''전사함수'''(全射函數, surjection, 또는 surjective function)는 임의의 [[공역 (수학)|공역]]의 원소에 대응하는 정의역이 원소가 한 개 이상 존재하는, 즉 공역과 [[치역]]이 같은 함수를 말한다.
 
== 성질정의 ==
형식적인 정의는, 함수 {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}}가 전사함수일 [[필요충분조건]]은 공역 ''Y''에 속하는 임의의 원소 ''y''에 대하여 정의역 ''X''에 최소한 하나의 원소 ''x''가 {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''y''{{Nowrap end}}을 만족한다.
 
함수 {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}}가 다음을 만족할 때, f를 전사함수라 한다.
== 성질 ==
 
* 전사 함수와 전사 함수의 [[합성함수]]는 전사함수이다.
형식적인 정의는, 함수 {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}}가 전사함수일 [[필요충분조건]]은 공역 ''Y''에 속하는 임의의 원소 ''y''에 대하여 정의역 ''X''에 최소한 하나의 원소 ''x''가 {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''y''{{Nowrap end}}을 만족한다.
* <math>g \circ f</math>가 전사함수이면, <math>g</math>도 전사함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사일 필요는 없다.
 
== 예 ==
정의역과 공역이 '''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R'''인 함수 ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup> 는 전사함수가 아닌데, ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1을 만족하는 실수 ''x''가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 '''R'''이 아닌 양의 실수 '''R<sup>+</sup>'''이라면, 함수 ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup>는 전사함수이다. 이 경우 언제나 ''x''<sup>2</sup>&nbsp;= ''y''를 만족하는 실수 ''x''가 존재하기 때문이다.
 
== 성질 ==
* 전사 함수와 전사 함수의 [[합성함수]]는 전사함수이다.
* <math>g \circ f</math>가 전사함수이면, <math>g</math>도 전사함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사일 필요는 없다.
 
== 같이 보기 ==