지지집합

수학에서, 함수의 지지집합(支持集合, 영어: support 서포트^[*]) 또는 받침은 그 함수가 0이 아닌 점들의 집합의 폐포이다. 즉, 0의 원상(preimage)의 폐포이다.

정의

$X$가 위상공간이고, $f\colon X\to \mathbb {R}$이 함수라고 하자. 그렇다면 $f$의 지지집합 $\operatorname {supp} f$는 다음과 같다.

$\operatorname {supp} f=\operatorname {cl} \{x\in X\colon f(x)=0\}=\operatorname {cl} (f^{-1}(0))$

여기서 $\operatorname {cl}$은 폐포 연산자다.

지지집합이 콤팩트 집합인 함수를 콤팩트 지지 함수(영어: compactly supported function 또는 영어: function with compact support)라고 한다. 정의역이 거리공간의 구조를 가졌을 때, 지지집합이 유계집합인 함수를 유계 지지 함수(영어: function with bounded support)라고 한다.

일부 저자들은 지지집합을 0의 원상의 폐포 대신 0의 원상 자체로 정의하기도 한다. 이 경우, 컴팩트 지지 함수는 그 지지집합이 콤팩트 집합의 부분집합인 함수가 된다.