힐베르트 공간: 두 판 사이의 차이
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'''힐베르트 공간'''(-空間, Hilbert Space)은 [[독일]]의 [[수학자]] [[다비트 힐베르트]]의 이름을 딴 개념으로, 순수히 대수적인 성질만을 지닌 [[벡터 공간]]에 [[각도|각]], [[길이]] 등 [[기하학]]적 성질을 부여한 개체이다. 수학적으로, 힐베르트 공간이란 [[완비공간|완비]] [[내적공간]]인데, 여기에서 "완비"는 공간에 구멍이 뚫려있지 않아 모든 [[코시수열]]의 [[극한 (수학)|극한]]이 존재함을 뜻하고, "내적공간"은 거리와 각도의 개념이 주어진 추상적 [[벡터공간]]이다. 완비성은 힐베르트 공간을 일반적인 내적공간보다 다루기 쉽게 한다. 힐베르트 공간의 예로는 [[유클리드 공간]], L² 공간 등이 있다.
일반적으로, 힐베르트 공간은 유한할 수도 있고, 무한할 수도 있다. 유한 차원의 힐베르트 공간은 유클리드 공간이라 부른다. 후자의 경우, [[
힐베르트 공간은 [[수학]], [[물리학]], [[공학]] 등에서 [[함수공간]]으로서 널리 사용되며, 특히 [[편미분방정식]]과 [[양자역학의 수학적 기초|양자역학]] 및 [[신호처리]] 등의 분야에서 필수적인 도구이다. 이와 같은 다양한 분야들에 공통된 대수적 구조가 존재함을 인식함으로써 [[함수해석학]]은 큰 발전을 이루었다.
힐베르트 공간은 서로 수직이고 길이가 1인 벡터들로 이루어진 [[정규직교기저]]를 가지며, 이를 통해 [[유클리드
==정의==
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#: <math>\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2+\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=2(\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2).</math>
# 역으로, 평행사변형 등식이 성립하는 바나흐 공간에는 내적이 유일하게 주어지며, 이로 인해 이는 힐베르트 공간이 된다.
# 일부 저자는 위와 약간 다른 정의를 사용한다. 예를 들어 Kolmogorov-Fomin<ref name="kolmogorov">{{서적 인용 | 제목 = Introductory Real Analysis | 성 = Kolmogorov | 이름 = Andrey | 저자고리 =안드레이 콜모고로프 | 공저자=S. V. Fomin | 발행년도 = 1970 | 판 = Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) | 출판사 = Dover Press | id = ISBN 0-486-61226-0}}</ref>는 위의 힐베르트 공간의 정의에 [[
# 예전의 책이나 논문에서는 힐베르트 공간을 "유니터리 공간"(unitary space) 혹은 "내적이 주어진 선형공간"(linear space with an inner product)이라 부르기도 했지만 현재는 사용되지 않는 용어이다.
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