"거리화 가능 공간"의 두 판 사이의 차이

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'''거리공간화 정리'''({{langllang|en|Metrizationmetrization Theoremtheorem}})란 [[위상수학]]에서 주로 다루는 주제인 '''거리공간화'''({{langllang|en|Metrizationmetrization}})에 관련된 정리를 의미한다. 이 문서에서는 발견한 수학자의 이름이 붙을 정도로 유명한 정리들만을 나열할 것이다. 관련 분야에 관해 초기의 업적으로는 [[러시아]] 수학자인 [[파벨 사무일로비치 우리손]]({{llang|ru|Па́вел Самуи́лович Урысо́н}})의 것이 유명하다.
 
== 거리공간화 ==
=== 정리의 역 ===
우리손의 거리공간화 정리의 역은 다음과 같이 주어진다. 그러면 필요충분조건이 되는데, 이는 이후 나가타-스미르노프 거리공간화 정리로 일반화되었다.
* 정리: 어떤 위상공간이 [[가분공간분해가능]]이고하고 거리공간화 가능하면, 제2가산공간이며 정칙공간이다.
이는 [[힐베르트 공간]]을 도입하여 쉽게 보일 수 있다. 먼저 제2가산인 정칙공간은 힐베르트 공간의 부분공간과 위상적으로 동형이다. 또 힐베르트 공간은 거리공간이며 제2가산공간이다. 따라서 힐베르트 공간의 어떤 부분공간도 제2가산이므로, 가분이다[[분해가능]]하다. 마지막으로 거리공간은 정규공간이며, 정규공간은 정칙공간이고, 거리공간 위에서 가분과[[분해가능]]성과 제2가산은 동치이므로 결론을 얻는다.
 
=== 유사 형태 ===
주어진 공간이 컴팩트인 하우스도르프 공간이라는 조건을 주면, 거리공간화 가능 조건은 다음과 같이 간략화된다. 그러나 이 경우 배경 조건이 너무 강력하다는 문제점이 있다.
* 정리: [[컴팩트콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이 거리공간화 가능일 필요충분조건은 제2가산인 것이다.
 
== 나가타-스미르노프 거리공간화 정리 ==
수학자 [[스미르노프]]와 [[일본]]의 수학자 [[나가타 마사요시]](永田雅宜)는 우리손의 거리공간화 정리의 역 형식에서 가분[[분해가능]]성 조건을 빼고 필요충분조건의 일반화를 시도하였다. 그 결과는 다음의 정리로 주어진다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과 '정칙이고 σ-국소 유한 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
이 정리의 증명은 몇 단계로 이루어질 수 있는데, 그 중 중요한 수순으로 [[무어 공간]]의 개념을 이용하는 경우가 있다.
 
=== 빙 거리공간화 정리 ===
나가타-스미르노프 거리공간화 정리의 발표와 유사한 시기에 미국의 수학자 [[RH 빙]]({{llang|en|RH Bing}})<ref>{{맥튜터|id=Bing|title=R H Bing}}</ref><!-- 동양계 이름이 아님. "RH"가 약자가 아니라 실제로 이름이 "RH" -->이 유사한 형식의 거리공간화 정리를 발표하였다. 이 두 정리를 통칭하여 빙-나가타-스미르노프 거리공간화 정리라고도 한다. 증명 도중에 무어 공간을 사용하는 경우가 있다는 점에서 위의 정리와 유사하다.
* 정리: 어떤 위상공간에 대하여, '거리공간화 가능이다'라는 성질과, '정칙이고 σ-국소 이산 기저를 갖는다'라는 성질은 동치이다.
 
 
== 참고 문헌 ==
{{주석}}
* 박대희, 안승호, 『위상수학(2/e)』, 경문사, 2009
* 김승욱, 『위상수학-집합론을 중심으로』, 경문사, 2003