라플라스 변환: 두 판 사이의 차이
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연립 상미분 방정식의 풀이 추가 |
라플라스 역변환 내용 추가 |
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== 역변환 ==
== 미분방정식의 풀이 ==▼
함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다.
:<math>
f(t) = \frac1{2\pi j}\int_{a-j\infty}^{a+j\infty}F(s)\exp[st]\,ds,\quad j = \sqrt{-1}.
</math>
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
:<math>
F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2},
</math>
로 <math>F(s)</math>가 주어져 있는 경우 [[부분분수 분해]]를 통해
:<math>
F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2} = \frac1{s + 1} - \frac1{s + 2},
</math>
를 얻게되고 라플라스 변환의 [[선형성]]으로부터 <math>f(t)</math>는 다음과 같다.
:<math>
\begin{align}
f(t)
&= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 2}\right\} \\
&= \exp[-t] - \exp[-2t], \quad t \ge 0.
\end{align}
</math>
▲== 미분방정식의 풀이 ==
=== 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 ===
다음과 같은 <math>n</math>차 연립 [[상미분 방정식]]을 고려하자
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