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소박한 집합론의 모순을 해결하기 위해 등장한 [[공리적 집합론]]은 집합들과 그 포함관계가 만족하는 [[공리]]들을 규정하는 방법으로 집합을 간접적으로 정의한다. 여기에서 집합과 그 포함관계는 [[유클리드 기하]]에서의 [[점 (수학)|점]]이나 [[직선|선]]과 같은 [[무정의 용어]]로 볼 수 있다. 공리적 집합론은 대부분의 경우 대학에서 수학을 전공하지 않는 이상 배우지 않는다.
 
== 공리적 집합론 ==
'''공리적 집합론'''은 술어논리를 이용하여 기술한 체계를 가지고 집합의 성질을 규명하는 수학의 한 분야이다.
=== 일차 술어논리를 사용한 공리적 집합론 ===
단항 술어기호 '<math>\mathrm{Set}</math>'과 양항 술어기호인 포함관계 기호 '<math>\in</math>'모두를 포함하거나 오로지 포함관계 기호만을 포함한 일차 술어논리 언어를 가지고 집합론을 구성할 수 있다.
일반적으로 대상 <math>x</math>가 <math>\mathrm{Set}(x)</math>를 만족하면 $x$를 집합이라 한다.
이 술어기호가 없는 집합론에서는 모든 대상을 집합으로 간주한다. 집합이 없는 대상을 원자(아톰, atom)이라 한다.
만일 <math>x \in X</math>이면 '<math>x</math>가 <math>X</math>의 원소다' 혹은 '<math>X</math>가 <math>x</math>를 포함한다((원소로) 가진다)'고 한다. 이는 기호로 표현한 것을 설명한다기 보다는 자연어로 옮기는 방법을 서술한 것에 가깝다.
 
어떤 공리적 집합론에서도 보통 확장 공리는 채택하는 편이다.
확장 공리는 `집합 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 가지는 원소가 서로 꼭 같다면 <math>X=Y</math>이다.'를 말한다.
기호로 <math>\forall X \forall Y ((\mathrm{Set}(X) \wedge \mathrm{Set}(Y)) \rightarrow (\forall z (z \in X \leftrightarrow z \in Y) \rightarrow X=Y))</math>로 쓸 수 있다.
 
이제 소박한 공리론에서 말하는 '분명히 구별되는 대상들의 모임이 집합'이라는 정의롤 공리적 집합론으로 가져오면 다음과 같이 표현할 수 있다.
'임의의 <math>(n+1)</math>개 자유변수 <math>\nu, \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_n</math>를 가지는 논리 공식 <math>\varphi</math>에 대하여 <math>\forall \nu_1 \forall \nu_2 \cdots \nu_n \exists X (\forall \nu (\nu \in X \leftrightarrow \varphi(\nu, \nu_1, \ldots, \nu_n))</math>가 성립한다'로 표현할 수 있다.
여기서 변수자리에 쓴 <math>\nu</math>는 그것이 어느 변수라도 될 수 있음을 표현하고자 한 것이다.
물론 변수 <math>X</math>는 <math>\nu</math>들 중 어느 하나라도 같아서는 안 된다.
그런데 이 공리는 도입하는 즉시 러셀 타입의 역설에 직면하게 된다.
이를 피하기 위해 여러 방법이 사용되는데, 크게 세 가지로 구분된다.
하나는 분리공리만을 허용하는 것이고, 또 하나는 변수의 타입을 집합과 유로 구분하는 것이고, 또 하나는 사용할 수 있는 논리 공식에 제한을 두는 것이다.
 
== 함께 보기 ==
 
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