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== 모듈러 형식의 공간 ==
다양한 종류들의 모듈러 형식들의 공간 <math>A\supset M\supset S</math>를 정의할 수 있다. 이들의 구조는 다음과 같다.
다음과 같은 공간들을 정의하자.
* <math>A_k</math>는 무게 <math>k</math>의 (극점들을 가질 수 있는) 모듈러 형식들의 복소 벡터공간이다. <math>A=\bigoplus_kA_k</math>는 곱셈에 대하여 등급 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 또한, <math>A_0</math> 자체도 체를 이루며, 모든 <math>A_k</math> (<math>k\ne1</math>)는 <math>A_0</math>에 대한 1차원 벡터공간을 이룬다. 구체적으로
::<math>A_k=\operatorname{Span}_{A_0}\{(g_3/g_2)^{k/2}\}</math>
:<math>A_k=\operatorname{Span}_{A_0}\{(g_3/g_2)^{k/2}\}</math>
이다. 또한, <math>A_0</math>은 [[j-불변량]]에 대한 복소 [[유리함수]]의 체이다.
::<math>A_0=C(j)</math>.
* <math>M_k\subset A_k</math>는 무게 <math>k</math>의 (<math>\hat\infty</math> 이외의 극점을 갖지 않는) 모듈러 형식들의 복소 벡터공간이다. <math>M=\bigoplus_kM_k</math>는 [[등급환]]을 이룬다.
**<math>M_k\subset A_k</math>는 무게 <math>k</math>의 (<math>\hat\infty</math> 이외의 극점을 갖지 않는) 모듈러 형식들의 복소 벡터공간이다. <math>M=\bigoplus_kM_k</math>는 [[등급환]]을 이룬다. 환으로서, <math>M\cong\mathbb C[g_2,g_3]</math>이다. 여기서 <math>g_2,g_3</math>는 [[모듈러 불변량]](modular invariant)이며, [[아이젠슈타인 열]]의 처음 두 원소이다. 따라서
:::<math>\dim_{\mathbb C}M_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor&k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor+1&k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}</math>
::이다.
* <math>S_k\subset M_k</math>는 무게 <math>k</math>의 첨점 형식들의 복소 벡터공간이다. 그렇다면 <math>S=\bigoplus_kS_k</math>는 <math>M</math>의 [[주 아이디얼]]을 이룬다. 구체적으로, <math>\Delta=g_2^3-27g_3^2=(2\pi)^12\eta^{24}</math>가 [[모듈러 판별식]](modular discriminant)이라면 (<math>\eta</math>는 [[데데킨트 에타 함수]]), <math>S=\Delta M</math>이다. 따라서
:::<math>\dim_{\mathbb C} S_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor-1&k\ne2,\;k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor&k=2\text{ or }k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}</math>
::이다.
== 참고 문헌 ==
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