"모듈러 곡선"의 두 판 사이의 차이

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== 성질 ==
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 예를 들어일반적으로, <math>X(\GammaG)</math>의 종수(genus)경우 [[j-불변량]]에 의하여 그 리만 곡면은 [[리만 구면]]과다음과 [[동형]]이다같다.
:<math>X(\Gamma)=\Gamma\backslash\mathbb H\stackrel{j}{\cong}\hat{\mathbb C}</math>
일반적으로, <math>X(G)</math>의 종수(genus)는 다음과 같다.
:<math>g=1+\mu_\Gamma/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2</math>
여기서
* <math>\mu=|\Gamma:G|</math>는 [[부분군의 지표]]다.
* <math>r_2</math>는 <math>G</math>의 타원점(elliptic point)들 가운데, 계수(order)가계수가 2인 타원점들의 수이다.
* <math>r_3</math>는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
* <math>r_\infty</math>는 <math>G</math>의 첨점들의 수이다.
 
== 예 ==
예를 들어, <math>X(\Gamma)</math>의 경우,
=== &Gamma;(1) ===
[[모듈러 군]] <math>\Gamma(1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 <math>X(1)</math>은 [[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math>와 [[동형]]이다. 이 동형사상은 [[j-불변량]]에 의하여 주어진다.
:<math>X(j\colon \Gamma(1)=\Gamma\backslash\mathbb H\stackrel{j}{\cong}to\hat{\mathbb C}</math>
 
이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. &Gamma;(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
* 계수가 2인 타원점 1개 (<math>i\in\mathbb H</math>)
* 계수가 3인 타원점 1개 (<math>(1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H</math>)
를 가진다. 따라서
:<math>g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0</math>
이다. 이는 [[리만 구]]에 해당한다.
이다.
 
=== &Gamma;<sub>0</sub>(''N'') ===
[[모듈러 군#모듈러 군 Γ0(N)|&Gamma;<sub>0</sub>(''N'')]]의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
:<math>r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}</math>