"모듈러 곡선"의 두 판 사이의 차이

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과 대응된다. 여기서 <math>\Lambda=\Lambda(\langle z,\tau z)</math>는 <math>0\ne z,\tau z\in\mathbb C</math>에 의하여 생성되는 2차원 [[격자]]이며, <math>z</math>는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 <math>z</math>를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)
 
=== ''X''(''N'') ===
''X''(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로 간주한) 타원곡선의 ''N''차 [[꼬임 부분군]]
''X''(''N'')의 경우, 타원곡선 <math>E</math> 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 <math>p,q\in E</math>이다.<ref name="Silverman">{{책 인용|제목=The arithmetic of elliptic curves|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=106|성=Silverman|이름=Joseph H.|판=2판|날짜=2009|출판사=Springer|isbn=978-0-387-09493-9|zbl=1194.11005|doi=10.1007/978-0-387-09494-6|언어고리=en}}</ref>{{rp|440}}
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 차수는 <math>N</math>의 약수이다. 즉, <math>Np=Nq=0</math>이다.
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 [[베유 쌍]](Weil pairing)은 <math>e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)</math>이다.
이에 따라서 <math>\{p,q\}</math>는 ''N''차 [[꼬임 부분군]]
:<math>\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}</math>
의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 <math>\tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
의 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. ''X''<sub>0</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 <math>\Lambda</math>의 ''N''차 [[순환군|순환]] [[부분군]]이다. ''X''<sub>1</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 <math>N</math>인 점 (즉, <math>Nz\in\Lambda</math>인 <math>z\in\mathbb C</math>)이다.
:<math>(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
로 주어진다.
 
=== ''X''<sub>0</sub>(''N'') ===
''X''<sub>0</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로군으로 간주한) 타원곡선의 ''N''차 [[꼬임순환군|순환]] [[부분군]]
:<math>i\colon\mathbb Z/n\hookrightarrow C/\Lambda</math>
이다.<ref name="Silverman"/>{{rp|440}} 구체적으로, <math>\tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
:<math>\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
이다.
 
=== ''X''<sub>1</sub>(''N'') ===
''X''<sub>1</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 <math>N</math>인 점 (즉, <math>Nz\in\Lambda</math>인 <math>z\in\mathbb C</math>)이다.<ref name="Silverman"/>{[rp|439}} 구체적으로, <math>\tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
:<math>1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
이다.
 
== 성질 ==