"하이젠베르크 군"의 두 판 사이의 차이

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[[심플렉틱 벡터공간]] <math>(V,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 집합 <math>V\times\mathbb R</math>에 다음과 같은 군 연산을 주자.
:<math>(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)</math>
이는 [[군 (수학)|군]]의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' <math>H(V)</math>라고 한다. 이는 ([[아벨 군]]으로서의) <math>V</math>의 [[중심확대]]이다. 즉, 다음과 같은 [[아벨 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\mathbb R\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to0</math>
 
 
보통 <math>V</math>가 명시되어 있지 않은 경우, <math>n=1</math>인 경우에 해당한다. 즉, <math>H_3(\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>를 의미한다.
 
== 리 대수 ==
하이젠베르크 군 <math>H_{2n+1}</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\in\mathfrak h_{2n+1}</math>
이 경우, [[행렬 지수 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\exp\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&\mathbf a&c+(\mathbf a\cdot\mathbf b)/2\\
0&I_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&1
\end{pmatrix}</math>
<math>\mathfrak h_{2n+1}</math>에 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 잡자.
:<math>P_i=\begin{pmatrix}0&e_i^\top&0\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
:<math>Q_i=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0_{n\times n}&e_i\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
:<math>C=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0_{n\times n}&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
그렇다면 <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>의 [[리 괄호]]는 다음과 같다.
:<math>[P_i,Q_i]=\delta_{ij}C</math>
:<math>[P_i,C]=[Q_i,C]=0</math>
 
== 표현론 ==
하이젠베르크 군의 [[군 표현론]]은 [[스톤-폰 노이만 정리]]에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 <math>H_{2n+1}</math>의 비자명 유니터리 [[기약표현]]은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) <math>L^2(\mathbb R^n)</math> 위의 다음과 같은 표현 <math>\rho_{\hbar}</math>와 동형이다.
:<math>\rho_\hbar\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
0&I_{n\times n}&q\\
0&0&1
\end{pmatrix}\colon\psi(x)\mapsto\exp(i(qx+\hbar(t+pq)/2))\psi(x+\hbar p)</math>
이를 리 대수 <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>에 대하여 표기하면 다음과 같다.
:<math>P_i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)</math>
:<math>Q_i\psi(x)=ix_i\psi(x)</math>
:<math>C\psi(x)=i\hbar\psi(x)</math>
 
== 참고 문헌 ==