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유체론: 두 판 사이의 차이

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== 예 ==
[[대역체]]의 가장 간단한 예는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의이다. 그 최대 [[아벨 확대]] <math>\mathbb Q^{\text{ab}}</math>는 유리수체에 1의 모든 ''n''제곱근들의 군 (복소수 곱셈군 <math>\mathbb C^\times</math>의 [[꼬임 부분군]])
:<math>\mu_\infty=\{\exp(2\pi ir)\colon r\in\mathbb Q\}</math>
을 추가한 확대
:<math>\mathbb Q^{\text{ab}}=\mathbb Q(\mu_\infty)</math>
이다. 즉, [[원분체]]들의 [[사영극한]]이다.
 
유리수체의 이델 군은
이 확대의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\mu_\infty)/\mathbb Q)</math>은 [[정수체]]의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>의 가역원들의 곱셈군과 [[동형]]이다.▼
:<math>\operatornamemathbb A^\times_{Gal}(\mathbb Q(}\mu_\infty)/cong\mathbb Q)^\congtimes\hat{times\mathbb Z}R^+\times\cong\prod_phat{\mathbb Z_pZ}^\times</math>
이다. 여기서 <math>\hat{\mathbb Z}^\times</math>는 정수체의 [[사유한 완비]]의 가역원들의 군이다. 유리수체의 이델류군은
:<math>C_{\mathbb Q}=\mathbb A^\times_{\mathbb Q}/\mathbb Q^\times=\mathbb R^+\times\hat{\mathbb Z}^\times</math>
이다. 여기에 사유한 완비를 취하면 <math>\mathbb R^+</math> 인자가 사라지게 된다.
:<math>\hat C_{\mathbb Q}=\hat{\mathbb Z}^\times</math>
 
따라서
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q^{\text{ab}}/\mathbb Q)\cong\hat{\mathbb Z}^\times\cong\prod_p\mathbb Z_p^\times</math>
▲이이다. 확대의즉, 유리수체의 절대 아벨 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(^{\mu_\infty)text{ab}}/\mathbb Q)</math>은 [[정수체]]의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>의 가역원들의 곱셈군과 [[동형]]이다.
이 동형은 [[크로네커-베버 정리]]와 동치이며, [[아르틴 상호법칙]](Artin reciprocity)의 예이다.
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/유체론"