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미적분학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

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1번째 줄:
{{미적분학}}
'''미적분학의 기본정리'''({{lang|en|fundamental theorem of calculus}})는 [[미적분학]]의 2개의두 중요한 [[연산 (수학)|연산]]인 [[미분]]과 [[적분]]에을 대한서로 정리로,연관시키는 미적분학에서정리로써 매우다음의 중요한두 의미를 갖는 정리 두정리를 개를통틀어 말한다이른다.<br/>
미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역관계에역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.<br/>▼
 
▲미적분학의 제1기본정리는 미분과 적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선문제에서, 적분은 면적문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다.
 
미적분학의 제2기본정리는 [[정적분]]을 [[역도함수]]의 차로 간단히 계산할 수 있음을 말한다. 이 정리가 있기에 계산이 힘든 [[리만 합]]의 극한을 매번 계산할 필요 없이 간단히 역도함수를 사용해 정적분의 값을 계산할 수 있다.
 
== 제1기본정리 ==
함수 <math>f</math>가 [[폐구간]] <math>[a,b]</math>에서 [[적분가능]]할 때연속이면, 함수 <math>F</math>를 <math>F(x)=\int_aint_{a}^{x} f(t)\,dt</math>라는 하자.[[폐구간]] 이때<math>[a,b]</math>에서 다음이연속이며 성립한다[[개구간]] <math>(a,b)</math>에서 [[미분#미분 가능|미분이 가능]]하고, 함수 <math>F</math>의 [[도함수]]는 <math>f</math>이다.
* 함수 <math>F</math>는 <math>BV(a,b)</math>의 원소이다. 다시 말해, 함수 <math>F</math>는 <math>[a,b]</math>에서 [[유계변동]]이다.
* 함수 <math>F</math>는 <math>[a,b]</math>에서 [[연속함수|연속]]이다.
* 함수 <math>f</math>가 <math>[a,b]</math> 사이의 한 점 <math>c</math>에서 연속이면, <math>F</math>는 <math>[a,b]</math>에서 [[미분가능]]하고, <math>F'(c)=f(c)</math>이다. 다시 말해, <math>F'(x) = {d \over dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)</math> 이다.
 
=== 제1기본정리의 증명 ===
함수 <math>F</math>에 [[미분]]의 정의를 바로 적용한다.<br/>
{{부분 토막글}}
:<math>x,x+h\in[a,b]</math><br/>
<math>\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt </math>로 두면, 함수 <math> f(t) </math>에 대해 <math>[a,b]</math>에서 연속하고 <math>(a,b)</math>에서 [[미분가능]]하므로 함수 <math>S(x)</math>도 <math>[a,b]</math>에서 연속하고 <math>(a,b)</math>에서 [[미분가능]]하다.<br/>
일 때 다음이 성립한다.<br/>
<math>h>0</math>일 때, <math>[x, x+h]</math>에서 <math>f(t)</math>는 [[최대최소 정리]]에 의해 최대값 <math>M</math>과 최솟값 <math>m</math>을 가진다.<br/>▼
여기서, :<math>mh<S\begin{align} F'(x+h)-S(x)<Mh</math>이므로 <math>&=\lim_{h \to 0} m \leq frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\&=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[\int_{a}^{S(x+h} f(t) \,dt -S( \int_{a}^{x)}h f(t)\leq ,dt\right]\\&=\lim_{h \to 0} M\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\end{align}</math>이다.<br/br>
[[압착정적분]]의 [[중간값 정리]]에 의해 <math>\ \lim_{h \to 0} m = \lim_{h \to 0} M = f([x) = S'(,x) +h]</math> 이므로사이의 값 <math>\ S'(x)=f(x) c</math>가에 대하여 다음이 성립한다.<br/>
:<math>\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt=f(c)</math><br/>
▲<math>h>0</math>일가 때,작아짐에 따라 <math>[x, x+h]</math>에서는 <math>f(t)x</math>는 [[최대최소 정리]]에 의해다가가고, 최대값그러므로 <math>Mc</math>과 최솟값도 <math>mx</math>을에 가진다다가간다.<br/>
함수 <math>f</math>는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.<br/>
:<math>\lim_{h \to 0} f(c)=f(x)</math><br/>
따라서,<br/>
:<math>\begin{align}F'(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt\\&=\lim_{h \to 0} f(c)\\&=f(x)\end{align}</math><br/>
이다.
 
== 제2기본정리 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/미적분학의_기본_정리"