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1번째 줄: [[파일:Stirling's Approximation.svg\|thumb\|400px\|right\|ln ''x''! 과 ''x'' ln ''x'' − ''x''의 그래프. ''x''가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 [[1]]로 수렴한다.]] {{미적분학}} '''스털링 근사'''({{llang\|en\|Stirling’s approximation}}) 또는 '''스털링 공식'''({{llang\|en\|Stirling’s formula}})은 큰 [[계승]]을 구하는 근사법이다~~. 다음과 같다~~. :<math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}.</math>▼ === 증명정의 ===▼ 매우 큰 <math>n</math>에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다. ▲:<math>n! \~~approx~~ sim\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}.</math> :<math>\ln n! \~~approx~~sim n^n(\ln ~~e^{-~~n} -1)+\~~sqrt{~~frac12\ln(2\pi n} )</math>▼ 이는 구체적으로 다음을 말한다. :<math>\lim_{n! \~~approx n^n e^~~to\infty}\frac1{-n!} \sqrt{2 \pi n }\, \left( ~~1 +~~ \frac{~~1 \over 12n~~n}{e} \right) ^n=1</math>▼ 구체적으로, 모든 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 다음과 같은 상계와 하계가 존재한다. :<math>\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}\exp(-n) \le n! \le e\ n^{n+1/2}\exp(-n)</math> == ~~더 정확한~~= 스털링 근사급수 ===▼ 스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 '''스털링 급수'''({{llang\|en\|Stirling series}})를 정의할 수 있다. :<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac1{12n}+\frac1{288n^2} + \cdots \right) </math> 이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS\|A1163}}, {{OEIS\|A1164}} :1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, … 로그로 쓰면 다음과 같다. :<math>\ln(n!)\sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) +\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\cdots\cdots</math> 이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS\|A46968}}, {{OEIS\|A46969}} :1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, … 스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 [[점근 전개]](asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 ''n''에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 ''n''에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다. == 역사 == 줄 9 ⟶ 28: 여기서 <math>C</math>는 드 무아브르는 유도할 수 없었던 상수다. [[제임스 스털링 (수학자)\|제임스 스털링]]은 이 상수가 <math>C=\sqrt{2\pi}</math>임을 보였다. 이후 [[자크 비네]](Jacques Binet)가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다. == 증명 == ~~== 가장 간단한 스털링 근사 ==~~ ~~이에 따르면 매우 큰 <math>n</math>에 대해서는 <math>n!</math>을 다음과 같이 근사시킬 수 있다.~~ ~~:<math>~~ ~~\begin{align}~~ ~~\ln n! &\approx n \ln n - n \\~~ ~~n! &\approx n^n e^{-n}~~ ~~\end{align}~~ ~~</math>~~ === 개략적인 증명 === 먼저 <math>\ln \, n!</math> 을 로그의 성질에 의해 전개하자. 줄 36 ⟶ 46: :<math>\ln n! \approx n \ln n - n</math> === ~~스털링~~더 근사엄밀한 증명 === ~~조금 더 정확한 형태의 스털링 근사는 다음과 같다.~~ ▲:<math>n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n} </math> ▲=== 증명 === 증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 [[감마 함수]]를 사용하자. <math>n</math>이 자연수일 때, 다음이 성립한다. 줄 74 ⟶ 77: :<math>n! = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \int^\infty_{-\infty} e^{-y^2 \over 2n } dy = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n} </math> ▲== 더 정확한 스털링 근사 == ~~자주 쓰이지는 않지만, 더 정확한 형태의 스털링 근사는 다음과 같다.~~ ▲:<math>n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n } \left( 1 + {1 \over 12n} \right) </math> ~~완전히 수렴하는 급수를 원한다면 [[스털링 급수]]를 참조할 것.~~ == 응용 ==

스털링 근사: 두 판 사이의 차이