"스튜던트 t 분포"의 두 판 사이의 차이

3,168 바이트 추가됨 ,  5년 전
편집 요약 없음
잔글 (Osteologia 사용자가 T 분포 문서를 스튜던트 t 분포 문서로 옮기면서 넘겨주기를 덮어썼습니다: 한국통계학회 용어집 http://stat.anyang.ac.kr/sec/dic/index.asp)
{{소문자}}
{{확률분포 정보
| 이름 =스튜던트 t- 분포
| 종류 = 밀도
| pdf 그림 = Student t pdf.svg
| 특성함수 = <math>\frac{K_{\nu/2} \left(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t| \right)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0</math>, <math>K_{\nu}(x)</math>는 [[베셀 함수]]
}}
'''스튜던트 t- 분포'''(Student t分布, {{llang|en|Student’s ''t''-distribution}})는 [[정규 분포]]의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.
 
== 정의 ==
'''스튜던트 t-분포는 분포'''는 다음 확률변수의 분포로 정의된다
 
t-분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다
:<math>\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}</math>
여기에서 <math>Z</math>는 [[표준정규분포]], <math>V</math>는 [[자유도]] <math>\nu</math>인 [[카이제곱 분포]]이다.
 
t분포는t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t분포의t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 [[표준정규분포]]에 가깝게된다. <ref>김석우, 《기초통계학》, 학지사, 2007, p. 194</ref>
 
== 정규분포에서의 추정 ==
 
어떤 정규분포의 [[평균]]이 <math>\mu</math>이고 [[분산]]이 <math>\sigma^2</math>일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 <math>X_1, \cdots, X_n</math>라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.
:<math>\overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math>
이때 <math>T</math>에는 <math>\sigma^2</math>가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 <math>\mu</math>를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 <math>T</math>의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.
 
=== 구간추정구간 추정 ===
자유도 n-1인 t- 분포 <math>T</math>에 대해,
 
자유도 n-1인 t-분포 <math>T</math>에 대해,
:<math>\Pr(-A<T<A) = 0.9</math>
을 만족하는 실수 <math>A</math>는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,
:<math>\Pr(-A<T<A) = \Pr\left(-A < {\overline{X}_n - \mu \over S_n/\sqrt{n}} < A \right) = \Pr\left(\overline{X}_n - A{S_n \over \sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A{S_n \over \sqrt{n}}\right) = 0.9</math>
이므로, 정규분포의[[정규분포]]의 평균은 90%의 신뢰도로 <math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}} </math> [[신뢰구간]]에 속하게 된다.
 
== 같이 보기역사 ==
프리드리히 로베르트 헬메르트({{llang|de|Friedrich Robert Helmert}})가 1875년에 도입하였다.<ref>Helmert, F. R. (1875). "Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". ''Z. Math. Phys.'', 20, 300–3.</ref><ref>Helmert, F. R. (1876a). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". ''Z. Math. Phys.'', 21, 192–218.</ref><ref name=HFR3>Helmert, F. R. (1876b). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit", ''Astron. Nachr.'', 88, 113–32.</ref><ref>{{Cite journal| doi=10.1007/BF00374700 | last=Sheynin | first=O. | year=1995 | title=Helmert's work in the theory of errors | journal=Arch. Hist. Ex. Sci. | volume=49 | pages=73–104}}</ref> 이듬해 [[야코프 뤼로트]]({{llang|de|Jacob Lüroth}})도 같은 분포를 재발견하였다.<ref>{{Cite journal| doi=10.1002/asna.18760871402 | last=Lüroth | first=J | year=1876 | title=Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers | journal=Astron. Nachr. | volume=87 | pages=209–20| issue=14 | bibcode=1876AN.....87..209L}}</ref><ref>{{Cite journal|first1=J.|last1=Pfanzagl| first2=O.|last2=Sheynin | title=A forerunner of the ''t''-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV) | year=1996 | journal=Biometrika | volume=83 | issue=4 |pages=891–898 | doi=10.1093/biomet/83.4.891|mr=1766040}}</ref> 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다.
 
1908년에 [[윌리엄 고셋]]이 "스튜던트"({{llang|en|Student}}, ‘학생’)라는 [[필명]]으로 1908년 재발견하였다.<ref>{{Cite journal|author="Student" <nowiki>[</nowiki>[[William Sealy Gosset]]<nowiki>]</nowiki>|date=March 1908 |title=The probable error of a mean |journal=Biometrika |volume=6 |issue=1 |pages=1–25 |url=http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf |doi=10.1093/biomet/6.1.1|언어고리=en}}</ref> 고셋은 [[기네스 (맥주)|기네스 양조 공장]]에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다.<ref>Mortimer, Robert G. (2005) ''Mathematics for Physical Chemistry'', Academic Press. 3 edition. ISBN 0-12-508347-5 (page 326)</ref> 이후 저명한 통계학자인 [[로널드 피셔]]는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, ''t''라는 기호를 사용하였다.<ref name="Fisher 1925 90–104">{{Cite journal|last=Fisher |first=R. A. |authorlink=Ronald Fisher |year=1925 |title=Applications of "Student's" distribution |journal=Metron |volume=5 |pages=90–104 |url=http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf}}</ref> 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다.
 
==참고 문헌==
{{주석}}
 
== 같이 보기 ==
* [[카이제곱 분포]]
* [[F 분포]]
* [[정규분포]]
 
==참고==
<references/>
[[분류:연속분포]]