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[[수학]]에서 '''절댓값 '''(切對-, {{llang|en|absolute value}})'''이란, 어떤 [[실수]] a를 [[수직선]]에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 <math>|a|</math>로 나타낸다.
 
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화시켜야한다.
 
== 실수 ==
[[파일:Absolute value.svg|thumb|절대값절댓값 함수]]
어떠한 [[실수]] a의 절대값은절댓값은 <math>|a| \,</math>로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
:<math>|a| := \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases} </math>
 
정의에 따라, 이 값은 거리이므로 항상 [[0]] 이상이다. 따라서 절대값이절댓값이 가장 작은 수는 [[0]]이다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.
 
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a </math>
 
이 식을 이용하면 절대값이절댓값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.
:<math>|x-3| \le 9 </math>
:<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
 
== 복소수 ==
[[복소수]]중에서는 값들의 크기 비교가 불가능한 경우가 있기 때문에<ref>복소수에도 임의의 순서를 줄 순 있지만, 그렇게 정의한 절대값은절댓값은 직관적으로 말하는 크기와 대부분 상반된다.</ref>, 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인
:<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
를 이용할 수 있다.
:<math>|z| := \sqrt{x^2 + y^2}.</math>
 
이렇게 정의하면, 앞의 절대값의절댓값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.
:<math> |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.</math>
 
이때 [[피타고라스의 정리]]에 따라 절대값은절댓값은 [[원점]]과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절대값이절댓값이 된다.
 
== 주석 ==
{{Reflist}}
 
==참고 문헌==
* Nahin, Paul J.; [http://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
* O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/{{MacTutor|id=Argand.html "|title=Jean Robert Argand"]}}
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [http://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"], Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8