조르당 표준형: 두 판 사이의 차이

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'''조르당 표준형'''(Jordan normal form, -標準型)은 [[선형대수학]]에서 사용하는 [[행렬]]의 [[표준형]] 중 하나로, 기본적으로 [[대각화]]가 가능하지 않은 행렬들에 대해 [[대각행렬]]과 유사한 꼴의 행렬로 변환하는 기법에 이용된다. [[프랑스]] [[수학자]] [[카미유 조르당]]({{llang|fr|Camille Jordan}})의 이름이 붙어 있다.
 
== 정의 ==
\end{bmatrix}.</math>
 
와 같은 꼴인데, <math>\lambda_i</math> 는 모두 같은 대응하는 A의 [[고유값고윳값]]이 된다. 조르당 블록의 개수는 [[일차독립]]인 A의 [[고유벡터]]의 개수와 일치한다.
 
이때, 임의의 행렬 A의 조르당 표준형 <math>J_A</math>에 대하여, 적당한 [[가역행렬]] P가 존재하여 <math>A = P^{-1}J_AP</math> 를 만족한다. 조르당 표준형에서 (j, j+1) 성분에 들어가는 1은 있을 수도, 없을 수도 있다. 1이 하나도 없는 조르당 표준형은 그대로 대각행렬이 된다. 이러한 경우 A는 대각화 가능인데, 이렇게 될 [[필요충분조건]]은 모든 고유값의고윳값의 [[대수적 중복도]]를 모두 더한 값과 [[기하적 중복도]]를 모두 더한 값이 n으로 일치하는 것이다. 일반적으로 대수적 중복도의 합이 기하적 중복도의 합보다 같거나 크므로, 기하적 중복도의 합이 대수적 중복도의 합보다 작게 될 경우 대각화 불가능하고, 그 조르당 표준형은 적어도 하나의 (j, j+1) 성분이 1을 가지는 조르당 표준형이 된다.
 
일반적으로 조르당 표준형의 성분들은 복소수일 수도 있고 [[실수]]일 수도 있는데, A가 실수 행렬일 경우 이하에서 설명할 일반적인 방법으로 조르당 표준형을 구할 경우 복소수 성분이 나올 수도 있다. 그러나, (j, j-1) 성분을 사용하여 실수 성분만 가진 행렬을 만들 수도 있다. 이에 대해서는 자세한 설명을 생략한다.
어떤 n차 복소 정사각행렬 A의 조르당 표준형은 다음 네 가지 요소를 계산하면 P를 직접적으로 계산하지 않고 곧바로 구성할 수 있다.
 
# A의 고유값고윳값(중복을 고려하여 <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math>)
# 고유값의고윳값의 중복도
# 고유값에고윳값에 대응하는 고유벡터
# 각 고유벡터 <math>\mathbf{x}_i</math> 와 그에 대응하는 고유값고윳값 <math>\lambda_j</math> 에 대하여 고유벡터의 <math>(A - \lambda_jI)</math> 에 대한 주기(period)
 
=== 사례 ===
예를 들어, 5차 정사각행렬 A의 고유값이고윳값이 중복을 고려하여 1, 2, 2, 2, 2이고, 고유값고윳값 1에 대응하는 고유벡터는 하나, 고유값고윳값 2에 대응하는 고유벡터는 2개가 있으며, 고유값고윳값 1에 대응하는 고유벡터의 (A - I)에 대한 주기는 1, 고유값고윳값 2에 대응하는 첫 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 3, 두 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 1이라 하자. 그러면 고유벡터가 세 개이므로 조르당 블록은 세 개가 된다. 또, 같은 고유값의고윳값의 고유벡터들에 대해 주기가 큰 것부터 작은 것으로 배열한다. 그러면 실제로 각 고유벡터에 대한 조르당 블록은,
 
:<math>J_1 =
 
== 유일성 ==
어떤 정사각행렬 A에 대해 그 조르당 표준형은 조르당 블록의 배열 순서를 무시하면 유일하게 결정된다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고유값에고윳값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다.
 
== 응용 ==
* 조르당 표준형을 만든 후 즉시 대입을 통해 다음 [[스펙트럼 사영 정리]]를 증명할 수 있다.
: n차 정사각행렬 A의 고유값을고윳값을 중복을 고려하여 <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math> 라 할 때, 임의의 [[다항식]] p(x)에 대하여 p(A)의 고유값은고윳값은 <math>p(\lambda_1), ..., p(\lambda_n)</math> 이 된다.
* 조르당 표준형에서 즉시 대입을 통해 [[케일리-해밀턴 정리]]를 일반적인 경우에 증명할 수 있다.
* 조르당 표준형을 구하는 과정에서 얻은 값으로 행렬의 [[극소다항식]]을 구할 수 있다.