고윳값과 고유 벡터: 두 판 사이의 차이
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고윳값 <math>\lambda</math>의 '''고유공간'''({{llang|en|eigenspace}}) <math>V_\lambda</math>은 이 고윳값을 가지는 고유벡터들과 0으로 구성되는 부분[[벡터공간]]이다.
:<math>V_\lambda=\{v\in\Lambda\colon Tv=\lambda v\}\subset V</math>
고윳값 <math>\lambda</math>의 '''기하 중복도'''({{llang|en|geometric multiplicity}})는 그 고유공간의 차원이다. 만약 <math>V</math>가 유한 차원 벡터공간일 경우, 고윳값 <math>\lambda</math>의 '''대수 중복도'''({{llang|en|algebraic multiplicity}})는 [[고유다항식]] <math>\det(T-
== 예 ==
예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고윳값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고윳값이 1뿐이므로 [[실수]]인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.
▲== 예제 ==
지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고윳값은 1이다.
=== 확대 ===
다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고윳값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.
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