마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

 

=== 특수한 경우: 확률론을 이용한 증명 ===

:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|</math>

이고,

:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|)</math>

이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로

:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a)</math>

이고, 다음 식을 얻는다.

:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|).</math>

''a'' > 0이므로, 양변을 ''a''로 나누면 마르코프 부등식을 얻는다.

 

=== 일반적인 경우: 측도 이론을 이용한 증명 ===

 

''A''_''t''가 ''A''_''t'' = {''x'' ∈ ''X''| |''f''(''x'')| ≥ ''t''}로 정의되면,

:<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|.</math>

따라서,

:<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu.</math>

이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,

:<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t).</math>

따라서 다음 식을 얻고,

:<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu,</math>

''t'' > 0이므로 양변을 ''t''로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.

:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>

 

== 응용 ==

* 마르코프 부등식은 [[체비쇼프 부등식]]을 증명하는 데 사용한다.

* ''X''가 음이 아닌 정수값을 갖는 확률 변수라면([[조합론]]에서 이런 경우가 많다), ''a'' = 1일 때 마르코프 부등식은 <math>\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X)</math> 꼴이 된다. ''X''가 어떤 집합의 크기라면 이 부등식을 써서 그 집합이 비어 있지 않다는 것을 증명할 수 있다. 존재성을 증명할 때 쓴다.