마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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=== 특수한 경우: 확률론을 이용한 증명 ===
어떤 사건 ''E''에 대해서, ''I''<sub>''E''</sub>를 ''E''의 정의 확률 변수라 하자. 즉, ''E''가 일어나면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;1이고 일어나지 않으면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;0이다. 따라서 사건 |''X''|&nbsp;≥&nbsp;''a''가 일어나면
사건 :''I''<sub>(|''X''|&nbsp;≥&nbsp;''a''가 일어나면)</sub>&nbsp;=&nbsp;1
''I''<sub>(이고, 사건 |''X''|&nbsp;<&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;1이고, 일어나면
사건 :''I''<sub>(|''X''|&nbsp;<&nbsp;''a''가 일어나면)</sub>&nbsp;=&nbsp;0
''I''<sub>(|''X''|&nbsp;≥&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;0이다이다. 그러면 ''a'' > 0인 ''a''가 주어질 때,
 
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|</math>
 
이고,
 
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|)</math>
 
이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
 
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a)</math>
 
이고, 다음 식을 얻는다.
 
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|).</math>
 
''a'' > 0이므로, 양변을 ''a''로 나누면 마르코프 부등식을 얻는다.
 
=== 일반적인 경우: 측도 이론을 이용한 증명 ===
 
가측 집합 ''A''에 대해서 1<sub>''A''</sub>를 ''A''의 [[표시함수지시함수]]라 하자. 다시 말해서 ''x'' ∈ ''A''일 때 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1이고, 다른 경우에는 0이다.
''A''<sub>''t''</sub>가 ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X''| |''f''(''x'')| ≥ ''t''}로 정의되면,
:<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|.</math>
 
따라서,
 
:<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu.</math>
 
이제 이 부등식의 왼쪽이 다음 식과 같다는 것을 생각하면,
 
:<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t).</math>
 
따라서 다음 식을 얻고,
 
:<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu,</math>
 
''t'' > 0이므로 양변을 ''t''로 나누어 다음 식을 얻을 수 있다.
 
:<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu.</math>
 
== 응용 ==
 
* 마르코프 부등식은 [[체비쇼프 부등식]]을 증명하는 데 사용한다.
* ''X''가 음이 아닌 정수값을 갖는 확률 변수라면([[조합론]]에서 이런 경우가 많다), ''a'' = 1일 때 마르코프 부등식은 <math>\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X)</math> 꼴이 된다. ''X''가 어떤 집합의 크기라면 이 부등식을 써서 그 집합이 비어 있지 않다는 것을 증명할 수 있다. 존재성을 증명할 때 쓴다.