소수 계량 함수: 두 판 사이의 차이

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== 역사 ==
[[정수론(number theory)]]에서 소수 개수의 증가속도는증가 속도는 매우 지대한중요한 관심 관심사였다대상이다. 18세기 말 [[가우스]]와 [[르장드르]]는 소수계량함수가 <math>x/\ln (x)</math>에 근접함을 추측했다. 즉,
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)} = 1</math>
라고 생각했고, 이는 [[소수 정리]]에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\text{li} (x)} = 1</math>
여기서 li는 [[로그적분함수]](logarithmic integral function)를 의미한다. 1859년 [[리만]]이 소개한 [[리만 제타 함수]]의 성질을 이용하여 1896년에 [[자크 아다마르]]와 [[샤를장 들라발레푸생]]({{llang|fr|Charles-Jean de la Vallée-Poussin}})이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.
 
== 명시적 공식 ==
소수계량함수는 다음과 같은 '''폰 망골트 명시적 공식'''({{llang|en|von Mangoldt explicit formula}})을 따른다. 이는 다른 [[L-함수]]들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.
:<math>\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>
여기서
*<math>S</math>는 [[리만 제타 함수]]의 임계구역(critical strip)에 있는 영점들이다.
::<math>S=\{\rho\in\mathbb C\colon \zeta(\rho)=0,\;0<\operatorname{Re}\rho<1\}</math>
* 합 <math>\sum_{\rho\in S}</math>는 [[절대수렴]]하지 않는다. 이 경우 합은 <math>|\operatorname{Im}\rho|</math>의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
* 위 공식은 ''x''가 정수가 아닌 1 이상의 실수인 경우, 즉 <math>x\in(1,\infty)\setminus\mathbb Z</math>에 대하여 유효하다. 만약 <math>x</math>가 2 이상의 정수인 경우, 좌변을 <math>(\psi(x-1)+\psi(x))/2</math>로 치환해야 한다.
 
== π(''x''), ''x'' / ln ''x'', 및 li(''x'')의 수치적 계산 결과 ==
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1,2291 229
| 143
| 17
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9,5929 592
| 906
| 38
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78 498
| 78,498
| 6,1166 116
| 130
| 12.740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664 579
| 664,579
| 44 158
| 44,158
| 339
| 15.047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5 761 455
| 5,761,455
| 332 774
| 332,774
| 754
| 17.357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50 847 534
| 50,847,534
| 2 592 592
| 2,592,592
| 1,7011 701
| 19.667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455 052 511
| 455,052,511
| 20 758 029
| 20,758,029
| 3,1043 104
| 21.975
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4 118 054 813
| 4,118,054,813
| 169 923 159
| 169,923,159
| 11 588
| 11,588
| 24.283
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37 607 912 018
| 37,607,912,018
| 1 416 705 193
| 1,416,705,193
| 38 263
| 38,263
| 26.590
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346 065 536 839
| 346,065,536,839
| 11 992 858 452
| 11,992,858,452
| 108 971
| 108,971
| 28.896
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3 204 941 750 802
| 3,204,941,750,802
| 102 838 308 636
| 102,838,308,636
| 314 890
| 314,890
| 31.202
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29 844 570 422 669
| 29,844,570,422,669
| 891 604 962 452
| 891,604,962,452
| 1 052 619
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279 238 341 033 925
| 279,238,341,033,925
| 7 804 289 844 393
| 7,804,289,844,393
| 3 214 632
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2 623 557 157 654 233
| 2,623,557,157,654,233
| 68 883 734 693 281
| 68,883,734,693,281
| 7 956 589
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24 739 954 287 740 860
| 24,739,954,287,740,860
| 612 483 070 893 536
| 612,483,070,893,536
| 21 949 555
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234 057 667 276 344 607
| 234,057,667,276,344,607
| 5 481 624 169 369 960
| 5,481,624,169,369,960
| 99 877 775
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2 220 819 602 560 918 840
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49 347 193 044 659 701
| 49,347,193,044,659,701
| 222 744 644
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21 127 269 486 018 731 928
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446 579 871 578 168 707
| 446,579,871,578,168,707
| 597 394 254
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201 467 286 689 315 906 290
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4 060 704 006 019 620 994
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1 932 355 208
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1 925 320 391 606 803 968 923
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37 083 513 766 578 631 309
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7 250 186 216
| 7,250,186,216
| 51.939
|}