조르당 표준형: 두 판 사이의 차이

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[[File:Jordan blocks.svg|right|thumb|250px|조르당 표준형의 모양. <math>\lambda_i</math>들은 [[고윳값]]이고, 회색 정사각형들은 조르당 블록이라고 한다.]]
'''조르당 표준형'''(Jordan標準型, {{llang|en|Jordan normal form, -標準型}})은 [[선형대수학]]에서 사용하는 [[행렬]]의 [[표준형]] 중 하나로, 기본적으로 [[대각화]]가 가능하지 않은 행렬들에 대해 [[대각행렬]]과 유사한 꼴의 행렬로 변환하는 기법에 이용된다. [[프랑스]] [[수학자]] [[카미유 조르당]]({{llang|fr|Camille Jordan}})의 이름이 붙어 있다.
 
== 정의 ==
어떤 n차 [[복소수|복소]] [[정사각행렬]] A의 조르당 표준형 J<sub>A</sub>는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. 존재성은 증명되어 있다.
 
:<math>J_A = \begin{bmatrixpmatrix}
J_1 & \; & \; \\
\; & \ddots & \; \\
\; & \; & J_k \end{bmatrixpmatrix}</math>
 
여기서 각 <math>J_i</math> (1≤i≤k≤n)는 '''조르당 블록'''(Jordan block)이라 불리는 적당한 크기의 정사각행렬로,
 
여기서 각 <math>J_i</math> (1≤i≤k≤n)는 '''조르당 블록'''({{llang|en|Jordan block}})이라 불리는 적당한 크기의 정사각행렬로[[정사각행렬]]로,
:<math>J_i =
\begin{bmatrixpmatrix}
\lambda_i & 1 & \; & \; \\
\; & \lambda_i & \ddots & \; \\
\; & \; & \ddots & 1 \\
\; & \; & \; & \lambda_i
\end{bmatrixpmatrix}.</math>
 
와 같은 꼴인데, <math>\lambda_i</math> 는 모두 같은 대응하는 A의 [[고윳값]]이 된다. 조르당 블록의 개수는 [[일차독립]]인 A의 [[고유벡터]]의 개수와 일치한다.
일반적으로 조르당 표준형의 성분들은 복소수일 수도 있고 [[실수]]일 수도 있는데, A가 실수 행렬일 경우 이하에서 설명할 일반적인 방법으로 조르당 표준형을 구할 경우 복소수 성분이 나올 수도 있다. 그러나, (j, j-1) 성분을 사용하여 실수 성분만 가진 행렬을 만들 수도 있다. 이에 대해서는 자세한 설명을 생략한다.
 
== 구하는 방법계산법 ==
어떤 n차 복소 정사각행렬 A의 조르당 표준형은 다음 네 가지 요소를 계산하면 P를 직접적으로 계산하지 않고 곧바로 구성할 수 있다.
 
# A의 고윳값(중복을 고려하여 <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math>)
# 고윳값의 중복도
# 각 고유벡터 <math>\mathbf{x}_i</math> 와 그에 대응하는 고윳값 <math>\lambda_j</math> 에 대하여 고유벡터의 <math>(A - \lambda_jI)</math> 에 대한 주기(period)
 
=== 사례 ===
예를 들어, 5차 정사각행렬 A의 고윳값이 중복을 고려하여 1, 2, 2, 2, 2이고, 고윳값 1에 대응하는 고유벡터는 하나, 고윳값 2에 대응하는 고유벡터는 2개가 있으며, 고윳값 1에 대응하는 고유벡터의 (A - I)에 대한 주기는 1, 고윳값 2에 대응하는 첫 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 3, 두 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 1이라 하자. 그러면 고유벡터가 세 개이므로 조르당 블록은 세 개가 된다. 또, 같은 고윳값의 고유벡터들에 대해 주기가 큰 것부터 작은 것으로 배열한다. 그러면 실제로 각 고유벡터에 대한 조르당 블록은, 다음과 같다.
:<math>J_1 = \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}</math>
 
:<math>J_1 =
\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}.</math>
 
:<math>J_2 =
\begin{bmatrixpmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrixpmatrix}.</math>
:<math>J_3 = \begin{pmatrix}2\end{pmatrix}</math>
 
와 같이 된다. 이제 이를 이용해 A의 조르당 표준형을 구하면 다음과 같다.
:<math>J_3 =
\begin{bmatrix}
2
\end{bmatrix}.</math>
 
와 같이 된다. 이제 이를 이용해 A의 조르당 표준형을 구하면 다음과 같다.
 
:<math>J_A =
\begin{bmatrixpmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrixpmatrix}.</math>
 
== 유일성 ==
 
== 참고 문헌 ==
* {{책 인용|이름=Serge |성=Lang,|저자고리=서지 랭|기타=정자자 역, 《|제목=선형대수학》, |출판사=경문사, |날짜=2004.}}
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Jordan matrix}}
* {{매스월드|id=JordanNormalForm|title=Jordan normal form}}
 
[[분류:행렬론]]