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[[그림:Inner-product-angle.png|섬네일|내적의 기하학적 해석]]
 
[[선형대수학]]에서, '''내적공간'''(內積空間, {{llang|en|inner product space}})은 [[수학]]에서 두 벡터를 곱해 [[스칼라]]를 얻는 '''내적'''이라는 [[이항연산]]이 주어진 [[벡터공간]]을 말한다이다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 [[길이]]나 [[각도]] 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 [[유클리드 공간]]의 [[스칼라 곱]]을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 [[함수해석학]]에서 중요하게 다루어진다.
 
==정의==
(이 글에서 [[스칼라 (수학)|스칼라]]들의 [[체 (수학)|체]] '''F'''는 [[실수체]] '''R''' 혹은 [[복소수체]] '''C'''이다.)
체 F 상의 벡터공간 V에 [[정부호]] [[비퇴화]] [[정반선형 형식]] <·,·>이 주어지면 이 공간을 '''내적공간'''이라 하고, <·,·>를 '''내적'''이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 [[대칭 겹선형형식]]이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸풀어 쓸 수 있다.
 
'''내적'''이란 함수
체 F 상의 벡터공간 V에 [[정부호]] [[비퇴화]] [[정반선형 형식]] <·,·>이 주어지면 이 공간을 '''내적공간'''이라 하고, <·,·>를 '''내적'''이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 [[대칭 겹선형형식]]이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.
 
내적이란 함수
:<math> \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} </math>
로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다:.
 
*[[켤레 복소수|켤레]] 대칭성:
 
::<math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.</math>
 
:이 조건에 따라 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>가 성립하는데, 이는 <math>\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} </math>이기 때문이다.
 
*첫 번째 변수에 대한 [[선형성]]:
 
::<math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.</math>
::<math>\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.</math>
:이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다:.
 
:이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다:
::<math>\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.</math>
::<math>\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.</math>
:따라서 <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>는 정반선형 형식이 된다.
 
*음이 아님:
 
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0.</math>
:(이는 V의 임의의 원소 x에 대해 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>이기에 의미를 갖는다.)
 
*비퇴화성:
::<math>\langle x,x \rangle = 0</math>이면 <math>x=0.</math>
 
==함께같이 보기==
*[[벡터곱]]
*[[외대수]]
*[[겹선형형식]]
*[[쌍대공간]]
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Inner product}}
* {{매스월드|id=InnerProductSpace|title=Inner product space}}
 
[[분류:노름 공간]]