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== 수열의 합 ==
[[수열]]의 합에는 [[Σ]](시그마, sigma) 기호를 쓰며 기본적인 표기 양식은 다음과 같다.
:<math>\sum_{k=
이때 각각의 항목의 의미는 다음과 같다.
<math>a_k</math> : <math>a_1, a_2, a_3, ... a_k</math>로 이루어진 수열이 있다.
[[Σ]] 기호 아래의 k=m 과 [[Σ]] 기호 위의 n : 수열 a_k에서 k자리에 m부터 n까지 (m과 n을 포함하고 그 사이의 자연수 들) 대입하여 얻은 값들
[[Σ]] 기호 : 위의 과정을 통해 얻어진 각각의 항을 전부 더한다.
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이때에도 함수 f(x)에 각각의 자연수를 대입한 각각의 항을 구해 그 총합을 구한다는 의미가 된다.
== 사용 예 ==
다음 합을 고려해보자.
=== 1 부터 N 까지의 자연수의 합을 산출하고자 하는경우 ===▼
:<math>\sum_3^7 2k+3</math>
이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\sum_3^7 2k+3 = (2 \times 3+3) + (2 \times 4+3) + (2 \times 5+3) + (2 \times 6+3) + (2\times 7+ 3) = 2 \times (3+4+5+6+7) + 3 \times 5 = 65</math>
이로부터, 다음과 같은 시그마(Σ)의 성질을 알 수 있다.
#<math>\sum_{k=m}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=m}^n a_k \pm \sum_{k=m}^n b_k</math> ([[복부호 동순]])
#<math>\sum_{k=m}^n (ca_k) = c \sum_{k=m}^n a_k</math> (단, c는 [[상수]])
#<math>\sum_{k=m}^n (c) = c(n-m+1)</math> (단, c는 상수)
#위의 식에서 m=1이면, <math>\sum_{k=1}^n (c) = cn</math>
위 시그마의 성질에서, 시그마 상하의 값이 같음에 유의하라.
그리고, 일반적으로 다음은 ''성립하지 않음''에 주의하라.
#<math>\sum_{k=m}^n (a_k \times b_k) = \sum_{k=m}^n a_k \times \sum_{k=m}^n b_k</math>
#<math>\sum_{k=m}^n ( \frac{a_k}{b_k} ) = \frac{\sum_{k=m}^n a_k}{\sum_{k=m}^n b_k}</math>
#<math>\sum_{k=m}^n (a_k)^2 = (\sum_{k=m}^n a_k)^2</math>
:<math>\sum_{k=1}^n k </math>
가 되고, 이 값의 계산은
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가 된다.
예를 들어, '''1부터 10 까지 자연수의 합'''의 경우, 위 공식에 의해
:<math>\frac{10(10+1)}{2} = 1+2+3+ \cdots +9+10 = 55</math>
가 된다.
==== 증명 ====
=== 1 부터 N 까지, 각각의 자연수의 제곱의 합을 산출하고자 하는경우===▼
:<math>\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n</math>
:<math>\sum_{k=1}^n k = n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1</math>
위에서 아래로 더하면
:<math>2 \sum_{k=1}^n k = (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)</math>
그런데 (n+1)이 n개 있으므로
:<math>2 \sum_{k=1}^n k = n(n+1)</math>
양변을 2로 나누면
:<math>\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} Q.E.D.</math>
:<math>\sum_{k=1}^n k^2</math>
가 되고, 이 값의 계산은
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가 된다.
예를 들어, '''1부터 10 까지 각각의 자연수의 제곱의 합'''은,
:<math>\frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6} = 1^2+2^2+3^2+ \cdots +9^2+10^2 = 385</math>
가 된다.
==== 증명 ====
항등식 <math>(x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1</math>에 <math>x=1, 2, 3, \cdots, n</math>을 대입하면
:<math>2^3 - 1^3 = 3 \times 1^3 + 3 \times 1 + 1</math>
:<math>3^3 - 2^3 = 3 \times 2^3 + 3 \times 2 + 1</math>
:<math>4^3 - 3^3 = 3 \times 3^3 + 3 \times 3 + 1</math>
:<math>\ddots</math>
:<math>(n+1)^3 - n^3 = 3n^3 + 3n + 1</math>
위에서 아래로 항끼리 더하면
:<math>(n+1)^3 - 1^3 = 3(1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2) + 3(1+2+3+\cdots+n)+n</math>
:<math>(n+1)^3 - 1^3 = 3( \sum_{k=1}^n k^2 ) + 3( \sum_{k=1}^n k )+nd</math>
:<math>3( \sum_{k=1}^n k^2 ) = (n+1)^3 - \frac{3n(n+1)}{2} - (n-1)</math>
정리해주면
:<math>3( \sum_{k=1}^n k^2 ) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}</math>
:<math>\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Q.E.D.</math>
참고로, <math>(n+1)^3-1 = n^3 + 3n^2 + 3n</math> 이므로 이를 이용할 수도 있다.
=== 1 부터 n 까지, 각각의 자연수의 세제곱의 합을 산출하고자 하는 경우 ===
:<math>\sum_{k=1}^n k^3</math>
가 되고, 이 값의 계산은
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2</math>
가 된다.
예를 들어, '''1부터 10 까지 각각의 자연수의 세제곱의 합'''은,
:<math>(\frac{10(10+1)}{2})^2 = 1^3+2^3+3^3+ \cdots +9^3+10^3 = 3025</math>
가 된다.
공식에서, <math>(\sum_{k=1}^n k)^2 = \sum_{k=1}^n k^3</math> 임을 알 수 있다.
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