대칭군 (군론): 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, [[집합]] <math>X</math>의 '''대칭군'''(對稱群, {{llang|en|symmetric group}})은 <math>X</math>에서 <math>X</math>로 가는 모든 [[전단사함수]](일대일 대응함수)의 집합에 [[군 (수학)|군]] 구조를 준 것으로, 기호로는 <math>S_X</math> 또는 <math>Sym(X)</math>로 표기한다. 이 때, 군 연산은 [[함수 (수학)|함수]]들의 [[합성 (수학)|합성]]이다. 즉, 두 함수 <math>f</math>와 <math>g</math>를 합성하여 새로운 전단사함수 <math>f \circ g</math>를 얻을 수 있다. 이 때, <math>f \circ g</math>는 <math>X</math>의 모든 원소 x에 대해 <math>(f \circ g)(x) = f(g(x))</math>로 정의한다. 이 연산과 함께 <math>S_X</math>는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 <math>fg</math>로 쓸 수도 있다.
 
특별히 중요하게 다루어지는 것은 [[유한 집합]] <math>X = \{1, \cdots, n\}</math>의 경우이다. 이 집합의 대칭군 <math>S_X = S_{\{1, \cdots, n\}}</math>를 간단히 <math>S_n</math>으로 표기한다. <math>S_n</math>의 원소들을 <math>X</math>의 [[치환]](置換, permutation)이라 하는데, <math>S_n</math>에는 총 <math>n!</math>개의 치환이 포함되어있다. <math>S_n</math>은 <math>n \leq 2</math>일 때에만 [[아벨 군]]이다.