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18세기에 [[레온하르트 오일러]]는 함수를 변수와 상수에 의해서 만들어지는 해석적인 [[수식]]으로 정의하였고, 19세기에 들어와 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]는 두 변수 x, y에 있어서 x의 값을 정하면 그에 따라서 y의 값이 정해질 때, y는 x의 함수라 정의하여 라이프니츠의 함수 개념을 버렸다.<ref>[http://www.ksmes.net/q/edu_114/story.php?mid=25&r=view&uid=80 함수의 역사], 강원중등수학교육연구회</ref> 현재와 같이 집합의 개념을 도입한 함수의 정의는 19세기의 수학자인 [[게오르크 칸토어]]가 제기한 [[집합론]]에 근거한 것이다. [[버트런드 러셀]]은 [[집합]]을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 다시 정의하였다.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/index The Principles of Mathematics]</ref>
== 구분 ==
함수는 수학적 특징에 따라 여러 종류로 구분된다.
* '''전사, 단사, 전단사함수'''
함수 <math>f : \, X \to Y</math>에서 공역과 치역이 같을 때 이 함수를 [[전사함수]]라 하며, 치역의 각 원소 하나 마다 오직 하나의 정의역 원소가 대응하는 함수를 [[단사함수]]라 하고, 전사 함수이면서 단사 함수인 경우를 [[전단사함수]]라 한다.<ref name="이상구"/> [[일차방정식]]을 관계식으로 하는 함수는 대표적인 전단사함수이다.
{| class="toccolours" style="border: 2px solid #aeffae; margin: 0 0 1em 1em; font-size: smaller; width:750px; text-align:center; text-size:85%;"
!style="width:250px;"| [[단사함수]]
!style="width:250px;"| [[전사함수]]
!style="width:250px;"| [[전단사함수]]
|-
|[[파일:Injection.svg|200px]]
|[[파일:Surjection.svg|200px]]
|[[파일:Bijection.svg|200px]]
|-
|하나의 상수에 대응하는 변수가 오직 한 개 뿐이다.
|치역과 공역이 같다.
|정의역과 공역이 일대일로 대응된다.
|}
* '''역함수'''
함수 <math>y=f(x)</math> 가 있을 때 <math>f(x)=y</math> 가 되는 관계를 생각할 수 있다. 이러한 관계를 [[역함수]]라 하고 <math>f</math> <sup>-1</sup> 로 표기, 'inverse'(인버스)라고 읽는다.<ref name="이상구"/> 예를 들어 [[지수함수]]의 역함수는 [[로그함수]]이다.
* '''단조 증가와 단조 감소'''
함수 <math>f</math> 의 정의역 내의 모든 원소 <math>x_{1}, x_{2}</math> 에 대하여 <math>x_{1} < x_{2}</math> 이면 <math>f(x_{1}) \le f(x_{2})</math> 가 성립할 때 단조 증가한다고 하며 반대의 경우를 단조 감소한다고 한다. 단조 증가하거나 감소하는 함수를 [[단조함수]]라 한다.<ref name="이상구"/>
* '''[[홀함수와 짝함수]]'''
실수의 집합 <math>\mathbb{R}</math>을 정의역으로 하고 <math>f(-x) = f(x)\ </math>의 관계가 성립할 때 이를 짝함수 또는 우함수라 한다. <math>f(x)=x^2</math> 는 대표적인 짝함수인데, 예를 들어 <math>x</math> 의 값이 2 또는 -2 일 경우 이에 해당하는 값는 모두 4이다. 이 경우 그래프는 좌우 동형을 보이게 된다. 한편, <math>f(-x) = - f(x)\ </math> 의 관계가 성립하는 경우는 홀함수 또는 기함수라 한다. 예를 들어 <math>f(x) = x^3</math> 와 같은 함수가 있다.<ref>박은순, 미분 적분학, 숭실대학교출판부, 2009, 130쪽</ref>
== 중요 함수 ==
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