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산술의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

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'''산술의 기본 정리'''(算術- 의基本定理, {{llang|en|fundamental theorem of arithmetic}})는 "1보다 큰 모든 양의 [[정수]]는 유한한 개수의 [[소수 (수론)|소수]]의 곱으로 곱의 순서를 바꾸는 것을 제외하면 유일하게 표현된다"는 명제를 가리킨다.
 
즉, 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대해 다음과 같은 식
 
== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]]의 집합을 <math>\mathbb P\subset\mathbb Z^+</math>라고 하자.
그렇다면, '''산술의 기본 정리'''에 따르면, 임의의 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 곱하여 <math>n</math>이 되는 소수의 유한 [[중복집합]]이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 <math>p_1,\dots,p_k\subset\mathbb P</math> 및 <math>r_1,\dots,r_k\in\mathbb Z^+</math>가 존재하며, 이는 <math>i=1,\dots,k</math>의 [[순열]]을 무시하면 유일하다.
:<math>n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}</math>
 
[[추상대수학]]의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 <math>\mathbb Z</math>가 [[유일인수분해정역]]이라는 명제와 [[동치]]이다.
을 만족하는 소수 <math>p_1 \cdots p_k</math>와 정수 <math>r_1 \cdots r_k</math>의 쌍이 순서가 바뀌는 것을 같은 것으로 볼 때, 유일하게 존재한다.
 
[[소인수분해]]의 유일성 정리라고도 한다.
 
이 정리에 의해서 정수집합은 [[정역]](integral domain) 중에서 [[유일분해정역]](unique factorization domain)으로 분류할 수 있게 된다.
 
== 증명 ==
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=== 2 단계 ===
두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면,) 유일함을 [[귀류법]]으로 증명한다.
만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다큰1보다 큰 양의 정수가 있다고 가정해보자가정해 보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,
 
<math>n=p_1p_2p_3...p_k=q_1q_2q_3...q_l, (p_1 \le p_2 \le p_3 \le ... \le p_k, q_1 \le q_2 \le q_3 \le ... \le q_l, p_i,q_j</math>는 소수, <math>p_i \ne q_j)</math>
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* [[유일분해정역]]
 
[[분류:수론|*]]
[[분류:기본정리]]
 
[[de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/산술의_기본_정리"